2. Meteory vzorové riešenie

Bez nejakých veľkých omáčok sa pustíme rovno do riešenia úlohy, ako ste iste spravili aj vy. Najprv začneme hľadať, čo a ako by sa dalo spraviť. Napríklad si zistíme, že aj Vrbové, aj Kurtáň sú v približne rovnakej nadmorskej výške nad morom. Ďalej sa poobzeráme, že v okolí Vrbového smerom na Kurtáň žiadne kopce nie sú. Ale keď sa pozrieme na Kurtáň, vidíme na západe kopec, ktorý môže všetko pokaziť.

Lenže Zuzka je múdra a preto sa postaví na pole severovýchodne od Kurtáňa, aby mohla pozorovať Perzeidy nad Vrbovým bez pokazeného výhľadu či svetelného smogu. Takže z neuchopiteľnej úlohy zrazu máme už len úlohu na guli. A tú ešte zjednodušíme o to, že pomocou nejakého programu zistíme vzdialenosť vzdušnou čiarou. Samozrejme, dá sa aj vypočítať, ale to nie je predmetom tejto úlohy. Zistíme, že Kurtáň a Vrbové sú od seba vzdialené , a taktiež zistíme aj relevantný údaj – polomer Zeme, ktorý je rovný .

Teraz si stačí uvedomiť, že my riešime úlohu o rovnoramennom trojuholníku, kružnici a pravouhlom trojuholníku. Prečo toto všetko? Z rovnoramenného trojuholníka zistíme uhlovú vzdialenosť medzi Kurtáňom a Vrbovým. Keďže otázka znie ako najnižšie môže byť pozorovaný objekt, tak sa vlastne otázka pýta, ako vysoko bol objekt, ak sa Matúš pozeral dotyčnicovo k zemi (kružnici). No a teda po tomto uvedomení zistíme, že posledné, čo nám chýba k šťastiu je zrátať dĺžky strán pravouhlého trojuholníka.

padajúci meteor

Najprv teda zistíme uhol Kurtáň, stred Zeme, Vrbové, takže využijeme buď kosínusovú vetu alebo ešte jednoduchšie si môžeme rozdeliť rovnoramenný trojuholník na dva pravouhlé a to už jednoducho zrátať. Body, a vzdialenosti označme ako na obrázku, \(z\) usečku \(|KV|\), ktorá je pre malé uhly totožná s oblúkom \(|KV|\), a \(r\) polomer Zeme. Dostávame teda \[z^2 = 2r^2 (1-\cos{\alpha})\] alebo \[\sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{z}{2}}{r}\text{.}\]

Dopočítame sa k \(\alpha = 1.42°\). No a teraz zrátame dĺžku úsečky \(|SM|\), čo urobíme jednoducho, keďže sme si povedali, že trojuholník \(SVM\) je pravouhlý, a potom odrátame od nej polomer Zeme. Čiže dospejeme k výsledku v tvare \[|MK| = \frac{r}{\cos{\alpha}}-r \doteq 1957 \mathrm{m}\text{.}\]

A teda nezostáva nám už nič iné, len poznamenať, že objekt, ktorý by mohli Matúš a Zuzka spolu pozorovať mohol byť najnižšie vo výške asi \(2 \mathrm{km}\).