1. Hustá makovica vzorové riešenie

Ako všetci vieme, hustota je definovaná ako \(\rho = m/V\), kde \(m\) je hmotnosť a \(V\) objem. Hustotu jedného zrnka teda vieme vypočítať ako jeho hmotnosť delenú jeho objemom (aspoň teoreticky ;)). V piatom príklade prvej série sa nám už podarilo úspešne zistiť, že hmotnosť jedného zrnka je približne \(\SI{0.004}{\gram}\). Ak sa pozrieme na zrnko maku veľmi zjednodušene, mohli by sme si ho predstavovať ako guľu s polomerom \(R\). Objem gule hravo vypočítame ako \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\) (znalci sa s týmto vzťahom už isto stretli). Stačí už len zistiť, aký má zrnko polomer. Problém však je, že táto hodnota líši od zrnka k zrnku.

Na pravítku s dielikom \(\SI{1}{\milli\metre}\) vieme pozorovať iba približný priemer zrnka, čo je asi . To znamená, že hustota je približne rovná

\[ \frac{\SI{0.004}{\gram}}{\frac{4 \pi}{3} \cdot (\SI{0.5}{\milli\metre})^3} \doteq \SI[per-mode = symbol]{2.54}{\gram\per\milli\litre}\text{.} \]

To je naozaj veľmi veľa, čo znamená, že musíme urobiť presnejšie meranie.

Zoberme teda naozaj veľké množstvo maku a ponorme ho do vody. Avšak tu vznikne taktiež problém. Mak pláva. Mnohí ste z toho hneď z usúdili, že mak menšiu hustotu ako voda. Mak by však na hladine mohol plávať, aj keby bol hustejší ako voda. Mak je totiž veľmi malý, a tak sa môže stať, že na hladine ho nedrží len vztlaková sila, ale aj povrchové napätie.¹

Povrchové napätie je vytvárané príťažlivými silami medzi molekulami vody. Ak sa molekula nachádza vnútri kvapaliny, má jednoducho povedané veľa susedov zo všetkých strán, a preto sa tieto sily kompenzujú. Ak je molekula na rozhraní kvapaliny a iného prostredia, napr. vzduchu, pociťuje efektívne väčšiu zložku sily v smere zvyšku kvapaliny, čím je táto molekula ťahaná ku kvapaline. Preto možno vidieť kvapky vody. Akonáhle je mak pod vodou, má to svedčiť o presnom opaku predpokladaného tvrdenia, že mak má menšiu hustotu ako voda.

Avšak iba experiment rozrieši tento problém. Na experiment budeme potrebovať váhy, mak, odmerný valec a mikroténový sáčok. Postup experimentu môže byť napríklad nasledujúci. Najprv navážime hmotnosť maku, potom nasypeme mak do sáčku, tak aby v sáčku zostalo čo najmenej vzduchu. Následne mak ponoríme do kvapaliny (úplne, zvyšok sáčku môže trčať nad vodou) a odmeriame rozdiel objemov, ktoré odčítame z odmerného valca. Meranie opakujeme viackrát, avšak pre inú hmotnosť maku v sáčku.

Merania, ktoré vykonali vedúci:

Experimentom sme teda zistili, že hustota maku je \(\SI[per-mode = symbol]{0.654 \pm 0.076}{\gram\per\milli\litre}\). Odchýlku vieme (kvalifikovane) odhadnúť pomôcou nasledujúceho vzorca pre smerodajnú odchýlku:

\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i = 1}^{n} (\bar{x} - x_i)^2}{n - 1}}\text{,} \]

kde \(n\) je počet meraní, \(x_i\) je hodnota hustoty v \(i\)-tom meraní, \(\bar{x}\) je priemerná hustota.

Merané hodnoty môžu byť ovplyvnené viacerými faktormi: napríklad vzduchom medzi zrnkami maku a taktiež inými materiálmi, napríklad igelitom, ich vplyv avšak oproti vplyvu vzduchu malý. Odhad množstva vzduchu vieme spraviť napríklad považovať mak za guľu a veľa maku za pravidelnú mriežku gúľ. Ale v rámci kuchynských meraní je dobré už len merať \(\SI[per-mode = symbol]{0.654 \pm 0.076}{\gram\per\milli\litre}\).