4. Lietajúce potvory vzorové riešenie

Hustota je veličina, ktorá vyjadruje, aká hmotnosť pripadá na jednotku objemu. Ak povieme, že hustota telesa je konštantná, prípadne, že hmotnosť telesa je rozložená homogénne, znamená to, že rovnako veľkým (objemným) častiam pripadá rovnaká hmotnosť. Ak teda rozdelíme teleso na \(n\) častí tak, aby mali všetky rovnaký objem, potom budú mať všetky tieto kúsky rovnakú hmotnosť. Predpokladajme, že guľa a kocka zo zadania takú hustotu majú. Hustotu telesa teda zistíme zo vzťahu \[\rho = \frac{m}{V}\text{.}\]

Objemy telies poznáme. Ako však zistíme hmotnosť? V zadaní bolo povedané, že obe telesá majú rovnakú kinetickú energiu. Tu si musíme spomenúť na vzorček, pomocou ktorého tú kinetickú energiu vyjadríme \[E_\text{k} = \frac{1}{2}mv^2\text{.}\]

Spomeňme si aj na to, že guľa sa pohybuje dvakrát rýchlejšie ako kocka – to znamená, že \(v_\text{guľa} = 2v_\text{kocka} = 2v\). Po dosadení dostávame \[\frac{1}{2}m_\text{guľa}(2v)^2 = \frac{1}{2}m_\text{kocka}v^2\text{.}\]

Po vykrátení \(\frac{1}{2}\) a \(v^2\) dostaneme \[4m_\text{guľa} = m_\text{kocka}\text{.}\]

Zistili sme, že kocka je štyrikrát ťažšia ako guľa. Síce nevieme akú hmotnosť majú jednotlivé telesá, vieme však ich pomer. A nakoľko otázka znie, ktoré teleso má väčšiu hustotu, pomer hmotností je dostatočný. Poďme teda jednotlivé hustoty porovnať:

\[\rho_\text{guľa} = \frac{m_\text{guľa}}{V_\text{guľa}} = \frac{m_\text{guľa}}{1\,\text{l}}\] \[\rho_\text{kocka} = \frac{4m_\text{guľa}}{V_\text{kocka}} = \frac{4m_\text{guľa}}{4\,\text{l}} = \frac{m_\text{guľa}}{1\,\text{l}}\]

Teda obe telesá majú rovnakú hustotu.