Zadanie

NesKvík pije smoothies. Vie, že od čaju by mal žlté zuby, a čo by na to povedala Plyš? Preto vždy zoberie všetko ovocie, čo vidí a nahádže ho do odšťavovača. Teda, len vtedy, keď sa zmestí, lebo krájanie by mu dalo príliš veľa roboty.

Kvík má odšťavovač s kruhovým otvorom s priemerom \(\SI{9}{\centi\metre}\). Má guľaté jablko s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{720}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a hmotnosťou \(\SI{320}{\gram}\), rovnako guľatý pomaranč s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{1}{\kilo\gram\per\deci\metre\cubed}\) a hmotnosťou \(\SI{320}{\gram}\), valcovitý kúsok ananásu s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{0.95}{\gram\per\centi\metre\cubed}\), hmotnosťou \(\SI{0.5}{\kilo\gram}\) a výškou \(\SI{99.8}{\milli\metre}\) a hrušku (tvaru približne dvoch gúľ položených na seba, jedna s dvakrát menším polomerom ako druhá) s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{1100}{\gram\per\deci\metre\cubed}\) a hmotnosťou \(\SI{440}{\gram}\). Z ktorého ovocia si vie urobiť vo svojom odšťavovači smoothie?

Každé ovocie má svoje rozmery a my potrebujeme toto ovocie dostať cez dieru s priemerom \(\SI{9}{\centi\metre}\), pričom pri každom ovocí hľadáme najširšie miesto.

Najprv zistíme objemy jednotlivých telies. Použijeme známy vzorec: \(V = m/\rho\). Najprv sa však musíme uistiť, čo do toho vzorca dosadíme, s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{720}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a hmotnosťou \(\SI{320}{\gram}\) to asi nebude najlepšie, preto najprv prevedieme všetky hustoty na \(\si[per-mode = symbol]{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a hmotnosti na kilogramy.

Dostaneme:

  • jablko s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{720}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a hmotnosťou \(\SI{0.320}{\kilo\gram}\). Teda objem \(\SI{4.444e-4}{\metre\cubed}\)
  • pomaranč s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{1000}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a hmotnosťou \(\SI{0.320}{\kilo\gram}\). Teda objem \(\SI{3.2e-4}{\metre\cubed}\)
  • ananás s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{950}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a hmotnosťou \(\SI{0.500}{\kilo\gram}\). Teda objem \(\SI{5.263e-4}{\metre\cubed}\)
  • hrušku s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{1100}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a hmotnosťou \(\SI{0.440}{\kilo\gram}\). Teda objem \(\SI{4e-4}{\metre\cubed}\)

Pre jablko a pomaranč (neskôr aj pre hrušku) použijeme známy vzorec na výpočet \(V= \frac{4\pi}{3} r^3\). Pre polomer teda bude platiť \(r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4 \pi}}\). Dosadíme a vyjde nám polomer jablka približne \(\SI{0.0473}{\metre}\) a pomaranča \(\SI{0.0423}{\metre}\).

Z týchto údajov vieme rovno usúdiť, jablko sa o Kvíkovho odšťavovača nezmestí, ale pomaranč áno. Polomer Kvíkovho otvoru je polovica priemeru, teda \(\SI{0.045}{\metre}\) a nám stačí porovnať, či majú väčší alebo menší polomer. Teraz na ananás. Je to valec, takže sa pohráme s iným vzorcom.

Objem valca sa dá vyjadriť ako podstava krát výška. Objem a podstavu poznáme, takže nám ostáva už len podstava, kde jediná premenná je zase len polomer. Platí \(S=V/h\) a \(S=\pi r^2\), z čoho dostaneme \(r=\sqrt{\frac{V}{h \pi}}\). Samozrejme nezabudneme premeniť výšku na metre, čo je \(\SI{0.0998}{\metre}\). Dostaneme polomer \(\SI{0.409}{\metre}\), čo sa pohodlne zmestí do odšťavovača.

A nakoniec hruška. Máme dve gule, jednu s polovičným polomerom oproti druhej. Menšia nás nebude zaujímať, keďže cez otvor potrebujeme dostať hlavne tú väčšiu. Keď si polomer väčšej gule označíme \(r\), potom objem celej hrušky vypočítame ako \(V= \frac{4\pi}{3} \left(r^3+(r/2)^3\right)\). Vnútro zátvorky je vlastne \(9/8 r^3\), takže výraz ešte upravíme na \(V= \frac{3\pi}{2}r^3\), a odtiaľ vyjadríme \(r = \sqrt[3]{\frac{2V}{3\pi}}\). Teraz už len dosadíme objem a máme polomer \(\SI{0.0439}{\metre}\), čo sa taktiež zmestí do odšťavovača.

Takže do odšťavovača sa zmestí ananás, pomaranč a hruška; jablko sa nezmestí.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.