5. Zajace a diera v stene vzorové riešenie

Zadanie

Niektorí z nás majú na prokrastináciu aj rozumnú výhovorku. Napríklad práca v domácnosti. Ale aj tá sa dá obísť a taká Enka je toho príkladom.

Enka chová doma zajace. Naposledy však poškodili klietku a Enke nezostalo nič iné ako nahradiť poškodenú časť plechom. Enkin plech však obsahoval kruhovú dieru. Enka preto okraje diery poctivo opracovala, aby sa zajačikom nič nestalo. Zajačiky sa cez dieru nedostanú, lebo je pre ne primalá, Enka sa však bojí o to, čo sa bude diať s dierou v lete, keď sa plech na slnku rozhorúči a začne sa teplotne rozťahovať. Zväčší sa, či zmenší sa kruhová diera v plechu? Svoju odpoveď zdôvodnite.

Povedzme si otvorene, toto nebola vôbec ľahká úloha. Bolo potrebné sa zamyslieť, čo sa deje s plechom, keď sa zohreje. V prvom rade som veľmi rád, že mnohí z vás to úspešne zvládli, no pustime sa teraz do samotného riešenia úlohy.

Kov, ako aj iné tuhé látky, si môžeme pokojne predstaviť ako atómy (prípadne molekuly) pospájané pevnými tyčkami, ktoré predstavujú väzby. Hoci je takáto predstava väzieb triviálna a vzdialená od reality, v prvom priblížení pomerne dobre popisuje vlastnosti týchto látok, v našom prípade tepelnú rozťažnosť. V školách sa zvyknete učiť, že tepelnú rozťažnosť materiálu definuje koeficient tepelnej rozťažnosti \(\alpha\), ktorý hovorí, že ak materiál zahrejete o \(\Delta T\), pôvodná dĺžka \(l\) narastie o \(\alpha \Delta T l\). Ako iste viete, tyčky alebo kovy sa zvyknú so zvyšujúcou teplotou rozťahovať, takže \(\alpha\) majú kladné. To však nebudeme úplne potrebovať, na to aby sme zistili odpoveď na Enkinu otázku, no je dobré, aby ste to vedeli ;)

Predstavme si teraz nasledovný experiment. Zahrejeme Enkin plech tak, aby každá tyčka (väzba) zväčšila svoju dĺžku \(k\)-krát. To znamená, že aj vzdialenosť medzi dvoma bodmi sa zväčší \(k\)-krát, a mimochodom aj to, že obsah plechu sa zväčšil \(k^2\)-krát a objem \(k^3\)-krát. Mohli by ste sa teraz spýtať, medzi ktorými dvoma bodmi sa zväčšila vzdialenosť. Samozrejme, že medzi susednými. No z toho by malo byť každému jasné, že aj medzi ľubovoľnými dvoma bodmi sa musela vzdialenosť zväčšiť práve \(k\)-krát. Ak sa teraz zamyslíme, že aj dva proti sebe ležiace body na okraji kruhovej diery sú tie ľubovoľné, tak odpoveď je jasná. Diera v plechu sa tiež zväčší, jej obsah dokonca \(k^2\)-krát, a Enke zajačiky s najväčšou pravdepodobnosťou utečú.