1. Jožko vzorové riešenie

Zadanie

To, že sústredká sú úplne úžasné, vedia všetci. Sem-tam sa však aj napriek dokonalej organizácii niečo prihodí. Väčšina problémov bývajú malichernosti, nad ktorými sa vedúci sotva pozastavia, no niekedy treba akčný zásah v teréne.

Malý asimetrický Jožko (má asi meter dlhé nohy aj ruky a váži asi metrák) sa stratil na sústredku a zavolal vedúcim. Našťastie ma so sebou ako správny fyzik meracie pomôcky, preto ho Dušan poprosil, aby sa rozhliadol s pravítkom v natiahnutej ruke a povedal, čo vidí. Jožko povedal, že v údolí vidí jazero, ktoré sa zdá byť \(\SI{20}{\centi\metre}\) široké a okrem toho je hneď napravo vedľa jazera fialková lúka, ktorá sa zdá byť \(\SI{10}{\centi\metre}\) šíroká. Potom sa však Jožkovi vybil mobil, a tak sa Dušan už nedozvedel nič ďalšie. Kam ma Duško vyslať záchranné čaty vedúcich, kde všade sa Jožko môže nachádzať?

Pri riešení úlohy zanedbajte tretí rozmer – výškové rozdiely medzi jednotlivými bodmi (t.j. fakt, že body sa nachádzajú na rôznych vrstevniciach)! Okrem postupu do svojho riešenia priložte aj mapu so zakreslenými pozíciami, na ktorých sa môže Jožko nachádzať.

V elektronickej verzii zadaní nájdete aj odkazy na mapy s mapovým podkladom a bez mapového podkladu (fialkové lúky sú na nich vyznačené fialovou farbou a jazerá modrou).

Poďme sa vcítiť do kože chudáka Jožka: Keď sa rozhliadne s pravítkom v ruke, zistí, že každý objekt mu zaberá istú časť zorného poľa. Pravítko v natiahnutej ruke je dobrý spôsob ako veľkosť tejto zabratej časti vieme ako tak rozumne odmerať (túto veľkosť budeme volať zdanlivá šírka). Problémom ale je, že taký strom ktorý má priamo pred nosom mu určite zaberie väčšiu časť zorného poľa ako strom na kopci až tam ďaleko, aj keď sú oba rovnaké. Preto záleží nie len od veľkosti objektu, ale aj od jeho vzdialenosti.

Pre každý objekt ale existujú miesta, z ktorých má danú zdanlivú šírku. To znamená, že ak Jožko natiahne ruku s pravítkom a postupne sa bude od stromu vzďalovať, v istej vzdialenosti bude zdanlivá šírka stromu práve \(\SI{10}{\centi\meter}\). Ak podíde ďalej, zmenší sa na \(\SI{5}{\centi\meter}\), a tak ďalej. Ak by začal okolo stromu krúžiť, zistil by, že jeho zdanlivá šírka sa nemení, keďže sa nemení ani šírka stromu, ani vzdialenosť v ktorej od neho stojí. Preto okolo každého objektu, či už lúky, jazera alebo stromu vieme nakresliť kružnicu, na ktorej bude jeho zdanlivá šírka rovnaká.

No dobre, ale aký bude polomer tejto kružnice? Tu nám pomôže fakt, že poznáme dĺžku ruky \(\SI{1}{\meter}\) a zdanlivú šírku objektu. Povedzme že sa pozerá na jazero s priemerom \(\SI{10}{\meter}\) a vidí zdanlivú šírku \(\SI{20}{\centi\metre}\). Z obrázku je vidno, že na základe podobnosti trojuholníkov platí \[\frac{\text {zdanlivá šírka}}{\text{dĺžka ruky}} = \frac{\text{šírka jazera}}{\text{vzdialenosť od jazera}}\]

Ak teda dosadíme známe veľkosti, vyjde nám, že jazero je vzdialené \(\SI{50}{\meter}\). To znamená, že Jožko je niekde na kružnici so stredom v strede jazera s polomerom \(\SI{50}{\meter}\).

Takto vyzbrojení sa už môžme pustiť do hľadania. Okolo každého jazera si narysujeme kružnicu na ktorej by ho videl so zdanlivou šírkou \(\SI{20}{\centi\meter}\) a okolo každej lúky kružnicu, na ktorej by ju videl so zdanlivou šírkou \(\SI{10}{\centi\meter}\). Pozor! Polomer tejto kružnice závisí od veľkosti jazera alebo lúky – okolo veľkého jazera je táto kružnica väčšia.

Keď si takto narysujeme všetky potrebné kružnice, pozrime sa na body, kde vidí nejaké jazero a nejakú lúku so spomínanou zdanlivou šírkou: priesečníky kružníc. Tu zrazu máme nejaké body, kde by mohol Jožko byť.

Teraz nás teda zaujímajú priesečníky bodkovaných a plných kružníc. Na každej z nich môže byž Jožko. Dušan ale nechce posielať vedúcich na toľko miest, takže sa pozrime. či ich ešte aspoň trochu nevieme preriediť. Spomeňme si teda, že nám dal ešte jeden kus informácie: lúka je z Jožkovho pohľadu vpravo od jazera. Preto si teraz označme len miesta, kde toto platí:

Takto sa nám podarilo určiť tri pravdepodobné a štyri nepravdepodobné miesta, kde sa môže Jožko schovávať. Nuž teda hľadaniu zdar!