2. Rušňovodiči vzorové riešenie

Zadanie

Cestou vlakom zo sústredka sedel Samko v prvom vozni, v prvom kupé. Keď ho unavilo počúvanie ornitologického výkladu spolucestujúcich, vyšiel na chodbičku. Keď sa vlak rozbiehal alebo pridával, jasne počul hukot motora. No v jeden moment nepočul nič a vlak nespomaľoval. Prišlo mu to strašne zvláštne.

Rušňovodiči, ktorí jazdia na strednom Slovensku, majú vyhliadnuté úseky, kde ide trať z kopca pod určitým sklonom. Jazdí sa tam tým spôsobom, že pridávajú, až kým nedosiahnu požadovanú rýchlosť, potom stiahnu výkon motora na nulu (motor nevyvíja silu na kolesá) a vlak krásne drží túto rýchlosť až kým nezačnú brzdiť. Prečo tento spôsob funguje, teda prečo sa niečo takéto môže diať? Závisí to od rýchlosti vlaku? Od jeho hmotnosti? Od sklonu trate? Prečo to nefunguje opačným smerom?

Ako Newton povedal: „Každý hmotný bod zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, kým nie je nútený vonkajšími silami tento svoj stav zmeniť.“

Pod rovnomerným priamočiarym pohybom myslel pohyb, ktorý nemení svoju rýchlosť a ani smer. Čo to o vláčiku hovorí? Že jeho rýchlosť sa bude meniť iba vtedy, keď výslednica síl na neho pôsobiacich nebude nulová.

Aké sily na vláčik pôsobia? No v prvom rade tiažová, ktorá ho ťahá nadol. Aby sa neprepadol pod zem, existujú koľajnice, ktoré ho podopierajú normálovou silou v smere na ne kolmom. Taktiež na neho ešte pôsobia nejaké takmer zanedbateľné sily, ako odpor vzduchu, či trenie v ložiskách, ktoré na neho pôsobia tak, aby ho spomaľovali, čiže proti smeru jazdy. Ak si tieto dve sily odmyslíme (pretože sú oveľa menšie ako tie zvyšné dve a navyše už vieme, že vlak iba spomaľujú), zostane nám tiažová a normálová sila od koľajníc.

Táto normálová sila pôsobí akurát tak, aby vlak nepadol do koľajníc a pôsobí smerom od nich. V prípade, že je vlak na rovine, tiažová sila ho ťahá iba ku koľajniciam a normálová sila ju vyrovná. V prípade, že je vlak na naklonenej ploche, normálová sila dorovná gravitačnú silu iba do takej miery a takým smerom, aby sa vlak nepribližoval k naklonenej ploche. Výslednica týchto síl vtedy pôjde dole kopcom, ale rovnobežne s traťou. Extrémny prípad by bol, keby koľajnice viedli zvislo dole z útesu. Vtedy, by na vlak pôsobila iba ťiažová sila, pretože ku koľajniciam by ho už nič nepritláčalo. Intuitívne, čím strmší by bol kopec, tým väčšia sila by ťahala vlak smerom nadol.

Ak teda máme vlak s nejakou rýchlosťou a vypneme motory (nebudeme na neho pôsobiť žiadnou vonkajšou silou), a ak bude na rovine, bude sa rovnomerne priamočiaro pohybovať (resp. spomaľovať, pretože ho bude spomaľovať trecia sila a odpor vzduchu). Ak pôjde dolu kopcom, bude zrýchľovať (sila je hmotnosť krát zrýchlenie) a ak pôjde hore kopcom, bude spomaľovať.

Ako sme už spomenuli, sila je hmotnosť krát zrýchlenie. Tiažová sila je priamo úmerná hmotnosti. Normálová sila kompenzuje jednu zložku gravitačnej sily, a preto je tiež priamo úmerná hmotnosti. Výslednica týchto dvoch síl, ktorá pôsobí smerom dole kopcom, je teda tiež priamo úmerná hmotnosti. Odpor vzduchu však nie je priamo úmerný hmotnosti.

Preto ak máme ťažší vlak, smerom dole kopcom na neho pôsobí väčšia sila, spomaľuje ho však rovnaká. Celková sila pôsobiaca na vláčik sa prejaví jeho zrýchlením \(\vec{a}\). To je rovné \(\vec{a} = \vec{F}/m\). Ak máme teda dvakrát ťažší vlak, v smere dolu kopcom na neho pôsobí dvakrát väčšia tiažová sila, ale my ju pri počítaní zrýchlenia predelíme dvakrát väčším číslom a preto nám zostane približne rovnaké zrýchlenie (len sa trochu zmiernilo spomalenie, ktoré bolo dôsledkom odporu vzduchu). To znamená, že na vláčik bude pôsobiť zrýchlenie \(\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{m\vec{g}}{m} = \vec{g}\) (pre skúsenejších je to presne jeho sínusová zložka), teda vidíme, že naozaj nám rýchlosť pohybujúceho sa vláčika nebude závisieť od hmotnosti (za predpokladu, že na vláčik nepôsobí odpor vzduchu). V prípade, že počítame aj s odporom vzduchu a iným odporom, ťažší vlak pôjde rýchlejšie.

Pozrime sa bližšie na sily, ktoré pôsobia na vlak, v ktorom sedí Samko. Normálová sila pôsobí kolmo na plochu. Tiažová sila pôsobí kolmo nadol. To znamená, že ak sa vlak pohybuje na rovnej ploche, tiažová sila \(\vec{F_G}\) bude totožná s normálovou silou \(\vec{F_N}\), teda hmotnosti vlaku \(m_V\) vynásobenej gravitačným zrýchlením \(\vec{g}\). V prípade, že sa vlak pohybuje na rovnej trati, sa sily \(\vec{F_G}\) s \(\vec{F_p}\) navzájom neovplyvňujú, lebo uhol \(\alpha\) medzi nimi je rovný nule.

Ale čo sa stane, ak sa vlak pohybuje z kopca? Uhol \(\alpha\) už nebude rovný nule. Zo zadania vieme, že vtedy rušňovodiči vypnú motory, a aj tak sa budú pohybovať naďalej. Na vlak bude aj naďalej pôsobiť normálová sila a tiažová sila. Z obrázku vidíme, že skladaním síl môžeme vyjadriť pohybovú silu ako \(\vec{F_p} = \vec{F_G} - \vec{F_N}\).

Veľkosť sily si môžeme jednoducho odvodiť pomocou pravouhlého trojuholníka, ktorý nám tam vznikol, cez Pytagorovu vetu. Použijeme teda funkciu sínus, ktorá je definovaná ako pomer protiľahlej odvesny ku prepone. Veľkosť pohybovej sily sa rovná \(F_p = F_g \sin \alpha\). To znamená, že ak \(\alpha = \ang{90}\), vlak sa bude pohybovať najviac ako môže v smere gravitačného zrýchlenia \(g\), a ak \(\alpha = \ang{0}\), vlak sa nebude pohybovať vôbec. Teda môžeme spraviť jednoduchý záver z toho, že čím väčší bude uhol \(\alpha\), tým väčšia bude sila, ktorá vlak udeľuje do pohybu. Ak uvážime, že veľkosť odporových síl sa nemení keď sa mení uhol kopca a môže závisieť iba od rýchlostí, vlak sa bude pohybovať rýchlejšie keď pôjde z kopca ako do kopca, a jeho rýchlosť bude tým väčšia, čím väčší je sklon kopca. Intuitívne, však?