4. Jazero vzorové riešenie

Keďže jazero má pevne stanovený tvar (aspoň tie čo som vídaval ja ho mávali), výška je určená objemom vecí, ktoré sú v ňom (pričom platí, že čím viac tam toho je, tým je hladina vyššia). Zadanie nám prezrádza existenciu troch vecí, vody v jazere, člnu na jazere, a kameňa (najprv v člne, potom vo vode). Objem vody sa padnutím kameňa nezmení, takže si ho jednoducho označme \(V_{\mathrm{voda}}\). Nápodobne spracujeme kameň s objemom \(V_{\mathrm{kameň}}\). Čo sa nám už ale spadnutím kameňa do vody zmení, je objem ponorenej časti člnu. Pred spadnutím je časť taká, aby udržala čln aj s kameňom, teda \(V_1\rho_{\mathrm{voda}} g=m_{\mathrm{kameň}}g+m_{\mathrm{čln}}g\).

Spadnutím kameňa do vody zbaví člnok bremena, a tak bude platiť \(V_2\rho_{\mathrm{voda}} g=m_{\mathrm{čln}}g\). Súhrnný objem všetkého pod hladinou pred pádom je teda: \[V_A=V_{\mathrm{voda}}+V_1=V_{\mathrm{voda}}+\frac{m_{\mathrm{kameň}}}{\rho_{\mathrm{voda}}}+\frac{m_{\mathrm{čln}}}{\rho_{\mathrm{voda}}}\text{,}\]

a po páde \[ V_B = V_{\mathrm{voda}}+V_{\mathrm{kameň}}+V_2 = V_{\mathrm{voda}}+V_{\mathrm{kameň}}+\frac{m_{\mathrm{čln}}}{\rho_{\mathrm{voda}}}\text{.} \]

Vidíme, že: \[V_A - V_B = \frac{m_{\mathrm{kameň}}}{\rho_{\mathrm{voda}}}-V_{\mathrm{kameň}} = \frac{m_{\mathrm{kameň}}}{\rho_{\mathrm{voda}}}-\frac{m_{\mathrm{kameň}}}{\rho_{\mathrm{kameň}}} = m_{\mathrm{kameň}} \left(\frac{1}{\rho_{\mathrm{voda}}} - \frac{1}{\rho_{\mathrm{kameň}}}\right) = \frac{m_{\mathrm{kameň}}}{\rho_{\mathrm{voda}}\rho_{\mathrm{kameň}}} \left(\rho_{\mathrm{kameň}}-\rho_{\mathrm{voda}}\right) \]

Keďže kameň má vačšiu hustotu než voda, \(V_A-V_B\) bude kladné, a teda voda v jazere klesne.