5. Podvodné okuliare vzorové riešenie

Výjdime zo známeho tvrdenia Lens Maker Formula alebo aj Equation, ktorý s pochopiteľných dôvodov odvádzať nebudeme \[\frac{1}{f} = \frac{n_1 - n_2}{n_2} (\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} + \frac{(n_1-n_2)d}{n_1 R_1 R_2})\text{,}\]

kde \(f\) je ohnisková vzdialenosť šošovky, \(n_1\) je index lomu šošovky (približne \(n_1 = \num{1.62}\)) a \(n_2\) je index lomu prostredia, \(R_1\) a \(R_2\) sú polomery krivosti a \(d\) je hrúbka šošovky. Vidíme, že ak zväčšíme \(n_2\) o \(\num{0.333}\) (presunuli sme sa zo vzduchu do vody), stále platí \(n_1 > n_2\), teda spojka sa bude správať ako spojka a rozptylka ako rozptylka. Ďalej vidíme, že \(f\) sa muselo zväčšiť. Ak máme mať nové okuliare, ktoré majú rovnakú ohniskovú vzdialenosť ako tie pôvodné, potrebujeme zmeniť jeden alebo aj viacero naraz z členov \(R_1\), \(R_2\) alebo \(d\). Ak sa má zmeniť iba \(d\), vidíme, že ju musime zväčšiť. Teda nech \(\frac{1}{f}\) je konštantné. Potom môžeme položiť rovnosť \[ \frac{n_1 - n_2}{n_2} \left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} + \frac{\left(n_1-n_2\right)d}{n_1 R_1 R_2}\right) = \frac{n_1 - n_3}{n_3} \left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} + \frac{\left(n_1-n_3\right)e}{n_1 R_1 R_2}\right)\text{,} \]

kde \(n_2\) je index lomu vzduchu, \(n_3\) je index lomu vody a \(e\) je hrúbka šošovky vo vode. Dosadíme hodnoty, nech sa nám to zjednoduší. \[ \num{0.62} \left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} + \frac{\num{0.62}\ d}{\num{1.62}\ R_1 R_2}\right) = \frac{\num{0.29}}{\num{1.33}} \left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} + \frac{\num{0.29}\ e}{\num{1.62}\ R_1 R_2}\right)\text{,} \]

Odtiaľ vyjadríme \(e\): \[\num{10.3} \left(R_2 - R_1\right) + \num{6.08}\ d = e\text{.}\]

Takže hrúbka skla sa musí zväčšiť aspoň \(\num{6.08}\)-násobne, plus môže pribudnúť nejaká konštanta.