1. Kráľovská jednotka vzorové riešenie

Najprv si spíšeme, čo máme napísané v zadaní.

\[\SI{1}{H} = \SI{240}{\gram}\text{,}\] \[\SI{1}{Ds} = \SI{18}{\pascal}\text{,}\] \[\SI{1}{Vn} = \SI{6}{\minute}\text{,}\] \[\SI{1}{a} = \SI{100}{\meter\squared} = \text{?}\]

Pri prvom pohľade na tieto vzťahy si možno myslíte, že meter predsa nemá nič spoločné s jednotkami \(\si{\gram}\), \(\si{\pascal}\), \(\si{\minute}\) a teda ani s našim novým systémom jednotiek \(\si{H}\), \(\si{Ds}\), \(\si{Vn}\). Pozrime sa však, čomu sa rovná \(\SI{1}{\pascal}\) v SI¹ jednotkách. Vieme, že tlak možno vypočítať ako silu pôsobiacu na plochu, čiže takto:

\[p=\frac {F}{S}\text{.}\]

V jednotkách to možno zapísať ako

\[\si{\pascal} = \frac{\si{N}}{\si{\meter\squared}}\text{.}\]

Keďže silu vieme vypočítať ako hmotnosť krát zrýchlenie \(F=ma\), Newton je rovný

\[\si{\newton} = \si{\kilo\gram} \frac{\si{\meter}}{\si{\second\squared}}\text{.}\]

Tento vzťah si dosadíme do rovnice pre výpočet tlaku, čím dostávame

\[\si{\pascal} = \frac {\si{\kilo\gram} \frac {\si{\meter}}{\si{\second\squared}}}{\si{\meter\squared}}\text{,}\] \[\si{\pascal} = \frac {\si{\kilo\gram}}{\si{\si{\meter} \cdot \second\squared}}\text{,}\]

z čoho si ľahko vyjadríme ár ako

\[\si{\meter} = \frac {\si{\kilo\gram}}{\si{\pascal} \cdot\si{\second\squared}}\text{,}\] \[\si{\meter\squared} = \frac {\si{\kilo\gram\squared}}{\si{\pascal\squared} \cdot\si{\second\tothe{4}}}\text{,}\] \[\SI{1}{a} = \SI{100}{\meter\squared} = 100 \frac{\si{\kilo\gram\squared}}{\si{\pascal\squared} \cdot \si{\second\tothe{4}}}\text{.}\]

Teraz sa pokúsme zistiť, aký je vzťah medzi SI a našimi novozavedenými jednotkami. Inak povedané, potrebujeme si predošlé vzťahy vyjadriť tak, aby sme dostali niečo typu „\(\SI{1}{\kilo\gram} = \SI[parse-numbers = false]{\dots}{Hrnčekov}\)“ (a podobne aj pre jednotky Detský stisk a Vajce namäkko).

\[\SI{240}{\gram}=\SI{1}{H} \Rightarrow \SI{1}{\gram}= \SI[parse-numbers = false]{\frac{1}{240}}{H} \Rightarrow \SI{1}{\kilo\gram} = \SI{1000}{\gram} = 1000 \cdot \SI[parse-numbers = false]{\frac{1}{240}}{H}\text{,}\]

\[\SI{18}{\pascal}= \SI{1}{Ds} \Rightarrow \SI{1}{\pascal}= \SI[parse-numbers = false]{\frac{1}{18}}{Ds}\text{,}\]

\[ \SI{6}{\minute} = \SI{1}{Vn} \Rightarrow \SI{1}{\minute}= \SI[parse-numbers = false]{\frac{1}{6}}{Vn} \Rightarrow \SI{1}{\second} = \SI[parse-numbers = false]{\frac{1}{60}}{\minute} = \frac{1}{60} \cdot \SI[parse-numbers = false]{\frac{1}{6}}{Vn} = \SI[parse-numbers = false]{\frac{1}{360}}{Vn}\text{.} \]

Pomocou vyššie spomínaných vzťahov si teraz vieme nahradiť \(\si{\kilo\gram}\), \(\si{\second}\), \(\si{\pascal}\) jednotkami \(\si{H}\), \(\si{Vn}\), \(\si{Ds}\).

\[ \SI{1}{a} = 100 \cdot \frac{\left( \SI[parse-numbers = false]{\frac{1000}{240}}{H}\right )^2}{\left(\SI[parse-numbers = false]{\frac{1}{18}}{Ds}\right )^2 \cdot \left (\SI[parse-numbers = false]{\frac{1}{360}}{Vn}\right )^4}\text{.} \]

Upravíme :)

\[\SI{1}{a} = 100\cdot \frac {1000^2 \cdot 18^2\cdot 360^4}{240^2}\frac {\si{H\tothe{2}}}{\si{Vn\tothe{4}} \cdot \si{Ds\squared}}\text{,}\]

\[\SI{1}{a} = \num{9.44784e15} \frac{\si{H\squared}}{\si{Vn\tothe{4}} \cdot \si{Ds\squared}}\text{.}\]

Juhú! Toto je presne to, čo sme chceli.