5. Voda kvápe! vzorové riešenie

Zadanie

V lete je vonku strašne teplo a niekedy aj dosť sucho, inokedy je tej vody, keď prší, priveľa. Počas sucha musíme zalievať všetko, čo sme si v záhradke vypestovali. Avšak voda z vodovodu je príliš studená a rastlinky by z nej boli pri takom teple v šoku. Vode z potoku by som zas neverila, že je čistá.

Preto u nás doma najprv napustíme z našej studne vodu do valcovej cisterny a slniečko tú vodu zohreje. Avšak to je mrhanie pitnej vody zo studne. Preto by sa mohla využiť voda, ktorá napadne počas daždivého obdobia. Pod odkvap položíme naležato sud s polomerom podstavy \(\SI{40}{\centi\metre}\) a dĺžkou \(\SI{120}{\centi\metre}\), ktorý má hore otvor rozmerov \(\SI{120}{\centi\metre} \cdot \SI{60}{\centi\metre}\). Odkvap privádza vodu zo strechy \(\SI{5.7}{\metre} \cdot \SI{6.4}{\metre}\). Počas daždivého obdobia podľa meteorológov napadlo \(\SI{12}{\milli\metre}\) vody.

Aká bude výška hladiny vody v cisterne?

Vyobrazenú zbernicu odkvapu vo výpočtoch neuvažujte. Vzorce potrebné k vyriešeniu úlohy si môžete vyhľadať.

Na začiatok treba povedať, že táto úloha bola ozaj ťažká a jej úspešné vyriešenie vyžadovalo použitie znalostí určite nie samozrejmých očakávanému vzdelaniu riešiteľa, čo robí z vyriešenia čin obdivuhodný a z nevyriešenia čin nie zahanbujúci.

Ak chceme zistiť, do akej výšky dosiahne voda v sude, najprv musíme zistiť, aký objem vody sa bude v sude nachádzať. Zadanie nám dáva údaj o množstve zrážok v \(\si{\milli\metre}\). To je jednotka trochu maskovaná, a jej forma, ktorá výstižnejšie hovorí o jej svetskej podstate, je „tisícina z metra kubického na meter štvorcový“.

Hľadaný objem teda získame tak, že obsah pôdorysu všetkého kde dopadne voda a stečie do nášho sudu vynásobíme \(\SI{12}{\milli\metre}\) zo zadania. Do tejto kategórie patrí akurát tak strecha a diera na sude.

\[V=\left(\SI{5.7}{\metre} \cdot \SI{6.4}{\metre}+\SI{0.6}{\metre}\cdot\SI{1.2}{\metre}\right)\cdot\SI{12}{\milli\metre}=\SI{0.4464}{\cubic\metre}=\SI{446.4}{\litre}\text{.}\]

Teraz nám ostáva nepomerne náročnejšia časť, a to zistiť, akej výške hladiny tento objem zodpovedá. Na to sa nám najprv oplatí vedieť, aký by bol objem celého, nezrezaného sudu (predsa len, mohlo by sa stať, že objem dažďovej vody je vačší než objem celéhu suda, čo by určite znamenalo že voda pretečie cez okraj).

\[V_{\mathrm{nezrezaný sud}} = \pi\cdot\left(\SI{0.4}{\metre}\right)^2 \cdot \SI{1.2}{\metre} \doteq \SI{0.6032}{\cubic\metre} = \SI{603.2}{\litre}\text{.}\]

Ako vidíme, naša nádej rýchleho riešenia rýchlo zmizla. Ale aspoň sme sa dozvedeli, že nezrezaný sud by bol naplnený nad polovicu, čo sa nám hodí v ďalšom výpočte. Ako by tých sklamaní nebolo málo, treba vyjaviť, že k peknému riešeniu na spôsob rovnice, ktorá by nám vypľula žiadané riešenie, ani neexistuje. Existujú ale vzorce, ktoré by nám umožnili z výšky hladiny dostať objem vody v sude, čo síce nie je to, čo chceme, ale mohli by sme úlohu vyriešiť tak, že si v nejakom programe necháme vykresliť graf (alebo vypísať tabuľku) závislosti objemu od výšky hladiny, a pozrieme sa, pri akej výške vychádza patričný objem.

Ak ale potrebné vzorce nepoznáme/nenašli sme/nechceme ich použiť, je aj iná cesta, síce o máličko nepresnejšia, ale to nevadí. V Exceli sa pokúsime vypočítať objem vody v sude v závislosti od výšky hladiny tak, že budeme skladať valec z nesmierne tenkých kvádrikov. Už vieme, že nezrezaný sud by bol zaplnený viac než do polovice, a tak sa zameriame, kvôli jednoduchosti, len na objem nad polovicou.

Z Pytagorovej vety vieme zistiť, že ak \(r\) je polomer sudu \(h\) je výška hladiny nad stredom suda (myslíme tým teraz nezrezaného brata nášho skutočného suda), šírka vodorovného prierezu je \(x = 2\sqrt{r^2-h^2}\). Potom \(x\) vynásobíme dĺžkou suda \(l=\SI{1.2}{\metre}\). Zvoľme si tenkosť plátkov, z ktorých budeme zliepať náš sud, ďalej označenú \(t\). Keďže polomer je v desiatkach centimetrov, taký milimeter je priam až prehnane tenký plát, ale nič nám nebráni túto hrúbku použiť. Začnime teda skladať.

\[V_{\mathrm{nad polovicou}}\left(h\right)=2tl\sqrt{r^2-(t)^2}+2tl\sqrt{r^2-(2t)^2}+2tl\sqrt{r^2-(3t)^2}+2tl\sqrt{r^2-(4t)^2}+ \dots +2tl\sqrt{r^2-h^2}\text{.}\]

Toto je už možné ľahko počítať v Exceli (alebo inom tabuľkovom kalkulátore). Vieme, že objem nad polovicou v našom sude bude \(\SI{0.6032}{\cubic\metre} - \SI{0.4464}{\cubic\metre} = \SI{0.1568}{\cubic\metre}\). Po aplikovaní načrtnutého postupu som zistil, že náš objem zodpovedá výške nad polovicou suda \(h = \SI{16.8}{\centi\metre}\). Ešte nám treba overiť, či to nie je viac. než zrezanosť suda umožnuje, a teda či nám voda nepretečie. Jednoduchý výpočet cez Pytagorovu vetu nám ale prezradí, že celková výška nášho zrezaného valca je \(\SI{66.46}{\centi\metre}\), a teda naša dažďová voda si môže pokojne hovieť vo svojich \(\SI{56.8}{\centi\metre}\).