2. Slaninky vzorové riešenie

Zadanie

Ako všetci isto dobre viete, slaninka sa pred vyúdením musí nejaký čas nechať stáť v hustom soľnom roztoku hustoty \(\rho\). Zuzka svoje dve slaninky chcela takto zavesiť do korýtka so slaným roztokom veľmi rafinovaným spôsobom. Chcela, aby viseli na kladke s polomerom \(r\) na lane dĺžky \(l\).

Zuzkine slaninky majú veľkosti podstáv \(S_1\) a \(S_2\), výšky \(h_1\) a \(h_2\) a hustoty \(\rho_1\) a \(\rho_2\). Ako vysoko má byť os kladky nad hladinou soľného roztoku tak, aby z oboch slaniniek trčala nad hladinu roztoku rovnako dlhá časť? Za akých podmienok takýto stav nemôže nastať?

Zadanie úlohy nám hovorí, že máme zistiť ako vysoko má byť os kladky nad hladinou, aby zo slaniniek trčali rovnako dlhé časti. To je však úplne rovnaká otázka, ako keby sa zadania pýtalo na to, aká dlhá časť bude trčať nad hladinou, pretože vzdialenosť od konca slaniniek po výšku osi kladky je presne polovica dĺžky lana skráteného o časť, ktorá sa dotýka kladky. To znamená, že os kladky musí byť vo výške \[ L = \frac{l - \pi r}{2} + x \text{,} \] kde \(x\) je dĺžka slaniniek vytŕčajúca nad hladinu, ktorú musíme zistiť.

To však zistíme jednoducho, keďže vieme, že systém slaniniek a kladky sa nehýbe. A teda výslednice síl pôsobiacich na jednotlivé slaninky sú nulové.

Na každú zo slaniniek pôsobí gravitačná sila, vztlaková sila, ktorá závisí iba od objemu ponorenej časti, a ťahová sila od lana, ktorá je rovnaká na oboch koncoch lana. Matematicky túto rovnosť môžeme zapísať ako \[ F_gi = F_vzi + T \text{,} \] pričom index \(i\) označuje ku ktorej slaninke sila prislúcha. Teraz, keď si tieto rovnice rozpíšeme pre obe slaninky dostaneme \[ S_1 h_1 \rho_1 g = S_1 \left( h_1 - x \right) \rho g + T \text{,} \] \[ S_2 h_2 \rho_2 g = S_2 \left( h_2 - x \right) \rho g + T \text{.} \] Stačí, že teraz vylúčime z rovníc \(T\) a pre trčiacu dĺžku slaniniek nad hladinou dostaneme \[ x=\frac{S_1 h_1 \left( \rho_1 - \rho \right) - S_2 h_2 \left( \rho_2 - \rho \right)}{\left( S_2 - S_1 \right)\rho} \text{,} \] a z toho nevyplýva nič iné ako to, že os kladky musí byť vo výške \[ L = \frac{l - \pi r}{2} + \frac{S_1 h_1 \left( \rho_1 - \rho \right) - S_2 h_2 \left( \rho_2 - \rho \right)}{\left( S_2 - S_1 \right)\rho} \text{.} \]

Zostáva nám sa zamyslieť, kedy tento výsledok vlastne platí. My sme to počítali s predpokladom, že obe slaninky sú sčasti ponorené, čiže keď \(0 \leq x \leq \min \left\{ h_1 , h_2 \right\}\). Čo by však znamenalo, že \(0 > x\)? Obe slaninky, by boli plne ponorené, čiže by prakticky vytŕčali nulovou dĺžkou. No na to, aby boli v rovnováhe museli by sa vykompenzovať všetky pôsobiace sily, čo by v tomto prípade viedlo k rovnici nezávislej od \(x\), pretože či by sme ich ponorili do milimetrovej alebo metrovej hĺbky by pôsobiace sily nezmenilo. \[ S_1 h_1 \left( \rho_1 - \rho \right) g = S_2 h_2 \left( \rho_2 - \rho \right) g \] Os kladky by sme teda mohli umiestniť do ľubovoľnej výsky tak, aby zostali slaninky úplne ponorené.

Opačný extrém by naopak bol, keby aspoň jedna slaninka trčala úplne von, čiže \(x > \min \left\{ h_1 \, h_2 \right\}\). To by však znamenalo, že jedna slaninka trčí celá a z druhej(tej dlhšej) trčí kúsok viac, keďže je ešte stále ponorená v soľnom roztoku. Z oboch slaniniek by za takýchto okolností trčala nad hladinou rovnaká časť iba v jedinom patologickom prípade. Slaninky by museli mať rovnakú dĺžku \(h_1 = h_2\) a sily by sa museli vykompenzovať bez toho, aby na slaninky pôsobila vztlaková sila, čiže \[ S_1 h_1 \rho_1 g = S_2 h_2 \rho_2 g \text{.} \]

Na záver by sme vás radi vyzvali, aby ste si dali na počesť tohto príkladu poriadny kus slaniny :) Dobrú chuť!