1. Papek vzorové riešenie

Na úvod si zhrnieme, čo v tomto vzorovom riešení nájdete. Jednak to budú odprezentované dva možné spôsoby riešenia tejto úlohy. Prvý, fyzikálne jednoduchý a nenáročný na konštrukciu, a druhý fyzikálne náročnejší a zaujímavejší. Dvak sa ešte pozrieme na výsledky oboch meraní a porovnáme ich presnosť.

Metóda č. 1

Ako prvé každému z nás určite napadne vziať spomínaný papek z názvu úlohy, hodiť ho do vody na rovnom úseku rieky známej dĺžky \(s\), a sledovať, za aký čas \(t\) úsek prejde. Z toho už jednoducho vypočítame rýchlosť prúdu rieky ako \(v=\frac{s}{t}\). No aj tu sa treba zamyslieť ako vykonať meranie správne.

Ako prvé si musíme zvoliť vhodný predmet, ktorým budeme merať. Musí sa mu dobre sledovať ťažisko, pretože sledovanie inej časti predmetu by mohlo viesť k chybným výsledkom, ak by nám predmet vo vode nejako rotoval. Túto podmienku papek pravidelného tvaru rozumne spĺňa.

Ďalej si musíme správne zvoliť časť rieky, na ktorej meriame. Na brehu si treba zvoliť dva body, ktorých vzdialenosť bude kopírovať dĺžku meraného úseku, a budeme vedieť podľa nich začať a ukončiť meranie. Ideálne ich treba označiť dvoma stojacimi objektmi, na ktoré sa potom budeme pozerať smerom kolmo na breh rieky. Samozrejme tieto body musia byť dostatočne ďaleko od seba, aby sme vedeli, kedy predmet vstúpi do meraného úseku a kedy ho opustí. A v neposlednom rade treba predmet, ktorým meriame, vhodiť na mieste dostatočne vzdialenom od začiatku, aby sa jeho rýchlosť stihla ustáliť.

Ako každé meranie, aj toto treba zopakovať viackrát na tom istom úseku, aby sme minimalizovali chyby merania. A ak nás zaujíma priemerná rýchlosť rieky na dlhšom úseku, treba merať na viacerých miest. No a keď všetko nameriame, treba spraviť základné spracovanie nameraných dát, ku ktorému sa dostávame hneď v nasledujúcej časti.

Experimentálne výsledky metódy č. 1 a ich spracovanie

Naša metóda merania bola podobná k tej opísanej, no s tým rozdielom, že papek sme hádzali z mostíku na Malom Dunaji (jedine tak sa dá papek rozumne hodiť do stredu toku), a merali čas jeho pohybu medzi dvoma okrajmi mostíku, na ktoré sme sa pozerali kolmo. Jeho šírka bola \(\SI{11.10}{\metre}\). Vysvetlime si teraz, ako tieto merania spracovať.

Najprv si všetky vykonané merania rýchlosti spriemerujeme, tzn. všetky sčítame a vydelíme počtom meraní. Potom pre každé meranie vypočítame jeho absolútnu odchýlku, tzn. vypočítame rozdiel konkrétneho merania a priemernej hodnoty. Spriemerujeme aj tieto odchýlky.

Nakoniec si vypočítame, aká je naša priemerná odchýlka veľká v porovnaní s priemernou nameranou hodnotou. Toto sa vyjadruje najlepšie percentuálne, takže vydelíme priemernú odchýlku priemernou nameranou hodnotou (a prenásobíme stomi, aby sme to previedli na percentá). Tak vieme vyjadriť, aké je pravdepodobne naše meranie presné, teda o akú časť z priemernej hodnoty sme sa mohli asi pomýliť. Pri tomto všetkom je dôležité myslieť na to, že priemerné výsledky, ktoré dostaneme, nemôžu mať vyššiu presnosť.

Metóda č. 2

V tejto časti si ukážeme, ako riešiť experimentálku iným spôsobom. Vyžaduje to však trošku viac znalostí o rozkladaní síl a trigonometrii. Preto odporúčame nazrieť do študijných materiálov na stránke https://ufo.fks.sk/studijne_materialy/.

Zariadenie, ktorým budeme merať, pozostáva z predmetu guľovitého tvaru o známej hustote väčšej ako je hustota vody, ktorý je pripevnený na koniec palice lankom. Naozaj potrebujeme guľu, aby sme mohli použiť jednoduchý fyzikálny výpočet špeciálne pre predmet guľového tvaru. Palica musí byť taktiež dostatočne dlhá, aby dosiahla do stredu nášho vodného toku. Navyše druhým lankom pripevníme ku koncu tyče ťažké závažie, aby sme vedeli merať kolmicu k zemi. A navrch si pripevníme ešte uhlomer, aby sme vedeli merať odklon prvého lanka od kolmice, keď ho ponoríme do vody.

Z konštrukcie takéhoto zariadenia je už jasné, ako budeme postupovať. Naše meracie zariadenie nahodíme do vody podobne ako udicu. Dostaneme ho do takého stavu, aby guľa na prvom lanku bola kompletne ponorená pod hladinou a zvyšok lanka bol nad hladinou. Teraz sa stane to, že guľa bude unášaná prúdom, bude na ňu pôsobiť odporová sila vody, a teda prvé lanko sa vychýli od kolmice o nejaký uhol, ktorý budeme vedieť vyjadriť z rovnosti pôsobiacich síl.

Samozrejme, treba si dať pozor na to, aby sme mali guľu takej hustoty, s ktorou budeme vedieť zmerať rozumné vychýlenie. Vychýlenie v jednotkách stupňov je naozaj málo, vtedy je nepresnosť merania veľká… Ďalším vhodným úkonom je odfotiť si meranie. Predsalen, z uhlomera sa na diaľku odčítava ťažko. Takto zopakujeme meranie na viecerých miestach rieky, keďže prúd vie byť celkom premenlivý. Keď tak spravíme, čaká nás už iba analýza výsledkov, kde už treba aj niečo spočítať.

Z fyzikálnej stránky je výpočet na prvý pohľad celkom jednuchý. Vieme, že keď ponoríme guľu do vody, budú na ňu budú pôsobiť spolu štyri sily, ktoré musia byť v rovnováhe. Jednak sú to gravitačná sila \(mg\) a vztlaková sila vody \(V \rho g\), kde \(V\) predstavuje objem gule a \(\rho\) hustotu vody. Obe tieto sily pôsobia vo vertikálnom smere. V horizontálnom smere pôsobí odporová sila vody. Keďže uvažujeme, že voda prúdi okolo gule príliš pomaly na to, aby vytvárala nejaké víry, pre veľkosť tejto sily bude platiť \(F_{\mathrm{odp}} = 6 \pi \eta R u\), kde \(\eta\) predstavuje dynamickú viskozitu vody.

Dynamická viskozita je veličina, ktorá nám charakterizuje, ako veľmi sa danej tekutine nechce tiecť. Čím je väčšia, tým väčší odpor kladie. Jej hodnotu ľahko nájdeme v tabuľkách, len si treba dať pozor, že sa mení s teplotou. Takže netreba zabudnúť vybrať tú správnu hodnotu.

Vo vyššie uvedenom vzorci nám ešte vystupuje \(R\), čo je polomer gule a \(u\) predstavuje rýchlosť prúdiacej vody. Vidíme teda, že práve vďaka tomuto vyjadreniu vieme zistiť rýchlosť rieky, ktorá nás zaujíma. No a poslednou silou je ťahová sila lanka \(T\), ktorá bráni odplávaniu gule. Samozrejme tá pôsobí pod uhlom \(\alpha\) od kolmice k vode.

Ako bolo už spomenuté, tieto sily sú v rovnováhe, to znamená, že môžeme napísať ich rovnosť v horizontálnom aj vertikálnom smere \[ \begin{aligned} 6 \pi \eta R u &= T \sin{\alpha} \text{,}\\ mg - V \rho g &= T \cos{\alpha} \text{.} \end{aligned} \]

Vylúčením neznámej ťahovej sily \(T\) z rovníc dostaneme pre rýchlosť prúdenia vody výraz \[ u = \frac{\left( m - V\rho \right)g}{6 \pi \eta R} \tan{\alpha} \text{.} \]

Takže ak teraz máme namerané jednotlivé uhly, už pomerne jednoducho vypočítame rýchlosti, a ešte jednoduchšie spravíme pre ne štatistiku. Pustime sa teda rovno do toho.

Experimentálne výsledky metódy č. 2 a ich spracovanie

Na meranie sme si zvolili guľu z plastelíny s hmotnosťou \(\SI{0.175}{\kilo\gram}\) a polomerom $. Meranie sme vykonali opäť z mosta – tak, že guľu sme do vody spúšťali pomocou palice zhora. Mali sme fotografickú výpomoc na brehu, takže uhol bol odfotený viac-menej korektne. Ako bolo opísané, toto meranie v podstate meria rýchlosť toku v jednom bode, takže ho chceme vykonať na viacerých miestach. Bohužiaľ nám vyšli len dve merania vzdialené desať metrov od seba, na jednom a na druhom boku mostu, inak sa nedalo dočiahnúť do stredu prúdu.

Porovnanie výsledkov oboch metód

Záverečnou časťou vzoráku bude malé zamyslenie sa nad tým, aké sme získali výsledky, odkiaľ pochádzajú odchýlky v nich, a aké rozdiely sú medzi týmito metódami. V prvej metóde jediný potenciál pre chybu zo strany merajúceho je to, či dobre odhadne okamih, kedy presne papek prepláva cez ním vytýčenú čiaru, a či stihne rýchlo reagovať.

Keďže ľudský reakčný čas je asi \(\num{0.3}\) sekundy, vidíme, prečo tu je malá veľkosť odchýlky. Z pohľadu fyzikálnej správnosti je tiež táto metóda v poriadku, pretože ak hodíme prvý papek do stredu toku a druhý možno dvadsať centimetrov od neho, tak pri rieke šírokej dvadsať až tridsať metrov toto nebude mať za následok veľký rozdiel v dĺžke cesty papeku.

Samozrejme naše výsledky by sme mohli vylepšiť a potvrdiť tým, že by sme merania zopakovali viackrát. V tomto prípade to však bolo náročnejšie na opakovanie a preto sme tak neurobili, keďže sme videli, že výsledky sa takmer nelíšia a sú teda zaťažené malou chybou.

V druhej metóde je z pohľadu experimentátora dosť veľký potenciál pre chybu v meraní uhla medzi dvoma povrazmi. Tiež, ako bolo povedané, meriame len rýchlosť toku v istom bode, aj keď pri veľkej rieke tečúcej po viac-menej rovnomernom teréne tu nemusí byť veľký rozdiel od miesta k miestu. Samotný fyzikálny vzorček pre silu pôsobiacu v jednom bode je teoreticky dobre podložený.

Výsledky nám z prvej a z druhej metódy vyšli veľmi blízke. Keďže prvá metóda je ľahká na správne prevedenie a fyzikálne dosť korektná („mal som predmet, hodil som ho do rieky, plával takto rýchlo, takže to je aj rýchlosť toku rieky“), vieme usúdiť, že aj druhá metóda je na účely takéhoto merania veľmi použiteľná. A to je dobré, pretože každému experimentálnemu fyzikovi sa oplatí mať na meranie nejakej veličiny viac metód, kebyže jednu vykoná nesprávne, alebo sa vyskytnú iné okolnosti, ktoré ovplyvňujú meranie.

Na záver by sme uviedlí, že by nám mohlo napadnúť, že teleso je dosť ovplyvňované prípadným vetrom, ktorý fúka nad hladinou. Z pohľadu fyziky tekutín je však guľa z bežného materiálu veľmi jednoduchý predmet. Preň máme takmer zaručené, že voda, tisíckrát hustejšia tekutina ako vzduch, bude silovo pôsobiť na predmet rádovo väčšou silou.