Zadanie
Duško má veľmi rád vajíčka. Pripravuje si ich na všetky možné spôsoby a je v tom naslovovzatý expert. Minule v obchode zazrel zvláštne vajce a povedal si, že ho musí mať. Keď ho položil na váhu, ukázala mu hmotnosť \(\SI{60}{\gram}\). Duško je však onakvejší fyzik, a tak vedel, že to nie je skutočná hmotnosť vajíčka, keďže váženie vykonával vo vzduchu s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{1.3}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\).
Duško rozmýšľal, ako najlepšie uchovať toto vajce pre budúce generácie a rozhodol sa, že ho ponorí do vody s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{1}{\gram\per\centi\metre\cubed}\). Avšak vajce nie a nie klesnúť na dno. Miesto toho sa len voľne vznášalo. Duško si povedal, že toto asi nebude najlepší spôsob, a tak vajce preložil do nádoby so slaným roztokom s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{1.02}{\gram\per\centi\metre\cubed}\). Pri manipulovaní s ním sa však stala nehoda a Duško doň spravil malú dierku. Všimol si to až vtedy, keď do vajca natiekla slaná voda, čím zaplnila vzduchovú bublinu, ktorá sa v ňom pôvodne nachádzala. Na jeho obrovské prekvapenie sa vajíčko vznášalo aj v tomto prípade. Duško sa nahneval a začal rozmýšľať nad tým, aká veľká bola vzduchová bublina vo vajci. Vedeli by ste mu pomôcť?
Najprv sa zamyslíme nad tým, čo nám jednotlivé udalosti hovoria. Začnime hmotnosťou celého vajíčka pred tým, než sa nám napustilo slanou vodou, ktorá nahradila vzduchovú bublinu. Vieme, že hmotnosť vajíčka \(m\) je zložená z hmotnosti vzduchu a vajcovej hmoty samotného vajíčka. Vieme si z toho teda odvodiť, že \(m=m_v+m_a\) (kde \(m_a\) je hmotnosť samotného vzduchu a \(m_v\) je hmotnosť vajcovej hmoty vo vajíčku).
Musíme však zahrnúť aj vztlakovú silu spôsobenú samotným vzduchom. Táto sila má rovnicu \(F= \rho vg\), kde \(v\) je objem vajca \(\rho\) je hustota prostredia a \(g\) je známe gravitačné zrýchlenie. Keďže váha, na ktorej vážime samotné vajíčko, nie je kalibrovaná na to, aby zohľadnila vztlakovú silu vzduchu, musíme ju zohľadniť my. Keď tieto sily dáme do rovnosti, dostaneme \[ mg=m_v g+m_a g-(v_v+v_a)\rho_a g \text{.} \]
Všimneme si, že môžeme túto rovnicu predeliť \(g\) a dostaneme trochu prehľadnejšiu rovnicu s menej písmenkami \[ m=m_v+m_a-(v_v+v_a)\rho_a\text{.} \]
Ďalej vieme, že keď nám vajíčko padlo do vody, zostalo plávať, a to vďaka vztlakovej sile (ďalej označovanej ako \(F_b\)), ktorá vyrovnala gravitačnú silu. Rovnica vztlakovej sily je už známa, len si ju označím konkrétne \(F_b = \rho vg\). Taktiež vieme, že gravitačná sila, ktorá ťahá naše vajíčko k zemi je \(F_{gv} + F_{ga}\). Preto môžeme písať \[ F_{gv} + F_{ga}=(v_v+v_a)\rho_h g\text{,} \]
kde \(\rho_h\) je hustota vody, \(F_{gv}\) gravitačná sila vajca a \(F_{ga}\) gravitačná sila vzduchu. Poznáme, že \(F=mg\), pričom si stačí vydeliť rovnicu \(g\) a dostaneme hmotnosti. Teda \[ m_v+m_a=(v_v+v_a)\rho_h\text{.} \]
Pozrime sa, čo si vieme odvodiť zo správania vajíčka po puknutí a ponorení do roztoku (vlastnosti roztoku budú označované s dolným indexom \(r\)). Ako prvú veličinu si vieme odvodiť hmotnosť vajca, ktoré je už napustené slanou vodou. Ako aj v predchádzajúcich odsekoch, tak aj teraz využijeme rovnosť vztlakovej a gravitačnej sily pôsobiacich na vajíčko.
Vieme, že keď vajíčko padlo do roztoku, vzduchová časť sa vymenila za roztokovú časť, a keďže roztok sa vznáša v roztoku, ďalej ho nemusíme uvažovať. Preto môžeme uvažovať o rovnici \(F_g=F_{br}\), kde \(F_{br}\) je vztlaková sila roztoku. Preto máme \(\rho_r v_v g = m_v g\), odkiaľ krátením gravitačného zrýchlenia dostaneme \(m_v=\rho_r v_v\). Vykrátime si gravitačné zrýchlenie a dostaneme \(m_v=\rho_r v_v\), teda hmotnosť vajca ponoreného v roztoku. Pre hmotnosť vzduchu je to ľahšie, pretože využijeme známy vzťah \(m_a=\rho_a v_a\).
Poďme si zobrať všetky rovnice, ktoré sme si zatiaľ odvodili a dosadiť do nich konkrétne hodnoty, ktoré sú nám zatiaľ známe:
| Rovnica | Hodnota | |
|---|---|---|
| 1 | \(m=m_v+m_a-(v_v+v_a)\rho_a\) | \(\SI{60}{\gram}=m_v+m_a-(v_v+v_a)\cdot \SI{1.3e-3}{\gram\per\centi\meter\cubed}\) |
| 2 | \(m_v+m_a=(v_v+v_a)\rho_h\) | \(m_v+m_a=(v_v+v_a)\cdot \SI{1}{\gram\per\centi\meter\cubed}\) |
| 3 | \(m_v=\rho_r v_v\) | \(m_v=\SI{1.02}{\gram\per\centi\meter\cubed} v_v\) |
| 4 | \(m_a=\rho_a v_a\) | \(m_a=\SI{1.3e-3}{\gram\per\centi\meter\cubed} v_a\) |
Máme teda nejaké rovnice a z nich potrebujeme vytĺcť \(v_a\). Avšak máme viaceré hodnoty, ktoré nám nie sú známe. Budeme ich nazývať neznáme. Ak by sme vyjadrili \(v_a\) len tak z nejakej rovnice, vždy by nám niektorá neznáma prekážala vo vyjadrení konkrétneho výsledku. Tieto neznáme vieme vyjadriť zo zvyšných rovníc, a potom by sme mali dostať číselný výsledok.
Takže s tým skúsme niečo spraviť. Rovnice budeme značiť číslami ako v tabuľke. Prvým krokom je všimnúť si v rovnici \(1\) a \(2\) členy \(m_v+m_a\). Tie sa zjavne rovnajú a preto sa budú rovnať aj ich pravé strany. Preto môžeme napísať novú rovnicu \(m= m_v +m_a =(v_v+v_a) \cdot (1-\num{1.3e-3}) = \num{0.9987}\cdot(v_v+v_a)\). Dostali sme novú rovnicu túto označíme \(5\).
Ďalej si vieme z tretej a štvrtej rovnice dosadiť do druhej súčet hmotnosti, čiže to, čo sme robili skoro v prvom kroku a dostaneme rovnicu iba s \(v_v\) a \(v_a\),
\[m =m_v+m_a = \rho_r v_v + \rho_a v_a = (v_v+v_a)\cdot \SI{1}{\gram\per\centi\meter\cubed}\text{.}\]
Úpravy, zväčša dosadzovanie čísel ktoré poznáme, necháme na čitateľa a po zjednodušení nám zostane rovnicu číslo \(6\): \(\num{0.02}v_v=\num{0.9987}v_a\), z ktorej plynie \(v_v=\num{49.935} v_a\). Ďalej si vieme dosadiť zo 6. rovnice do 5. nejakú neznámu, ideálne objem, ktorý už nebudeme potrebovať, a to je \(v_v\). Toto dosadzovanie funguje tak, že vyjadríme neznámu, že \(v_v=\num{49.935} v_a\) a v rovnici, do ktorej dosadzujeme, nahradíme všetky \(v_v\) výrazom \(\num{49.935} v_a\). Dostaneme \(m = 60 = \num{0.9987}(\num{49.935} v_a + v_a)= \num{0.9987}\cdot(\num{50.935} v_a) = \num{50.868}v_a\). Preto \(v_a=\SI[parse-numbers = false]{\frac{60}{50.868}}{\centi\meter\cubed} = \SI{1.179}{\centi\meter\cubed}\).
Po vypísaní zadaných hodnôt a vzťahov, sme sa popasovali s neľahkým problémom dostať \(v_a\) z týchto rovníc. Túto úlohu sme vyriešili a našli sme objem vzduchovej bublinky, ktorý je \(\SI{1.179}{\centi\meter\cubed}\). Takže môžeme sa radovať a tešiť sa na druhé kolo UFO.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.