5. Pratajúce sa závažia vzorové riešenie

Zadanie

Keď vedúci upratujú FKS miestnosť, zakaždým nájdu kopu zaujímavých vecí. Pri poslednom upratovaní vytiahli zo skrine ďalšiu krabicu so sústavami. Jedna z nich pozostávala z hranolu s podstavou tvaru pravouhlého trojuholníka, ktorého ramená mali sklon \(\ang{45}\). Na šikmej strane sa nachádzalo závažie o hmotnosti \(\SI{6}{\kilo\gram}\) a na druhej strane závažie o hmotnosti \(x\) \(\si{\kilo\gram}\). Závažia boli spojené lanom cez kladku, ako je znázornené na obrázku. Vedúci by radi vedeli, Aká musí byť hodnota \(x\) aby sa závažia nepohybovali.

Tento príklad sa zameriava na pre vás s veľkou pravdepodobnosťou málo známe oblasti fyziky alebo koncepty. Odporúčame preto nazrieť do študijných materiálov nachádzajúcich sa na našej stránke https://ufo.fks.sk/studijne_materialy/.

Aj vám vŕta v hlave, prečo je v zadaní spomínaná kladka, cez ktorú je prehodené lano? Na čo slúži? Táto kladka je len jednoduchá kladka, ktorá mení tvar lana, ale inak nijako neovplyvňuje veľkosť síl, ktorými závažia na seba navzájom pôsobia.

V ďalšom kroku si rozoberme sily pôsobiace na prvé závažie, t. j. závažie na naklonenej rovine. Ako pravdepodobne tušíte, sila, ktorou toto závažie je ťahané dole kopcom, je menšia ako veľkosť gravitačnej sily naň pôsobiacej. Prvé závažie je, samozrejme, zospodu podopreté naklonenou rovinou. Naklonená rovina teda bude pôsobiť proti časti gravitačnej sily.

V tomto bode odporúčam tým, čo si s touto témou ešte dobre nerozumejú, a ešte tak nespravili, aby nazreli do študijných materiálov na stránke https://ufo.fks.sk/studijne_materialy/, konkrétne do časti „rozkladanie síl a trigonometria“. Ideme rozkladať sily, teda v ďalšej časti vzoráku bude potrebné, aby ste mali o téme nejakú predstavu.

Gravitačnú silu pôsobiacu na prvé závažie si rozložíme na dve časti: časť pôsobiacu kolmo na naklonenú rovinu a časť pôsobiacu rovnobežne s povrchom naklonenej roviny. Časť pôsobiaca kolmo na naklonenú rovinu nás nezaujíma, pretože je vykompenzovaná normálovou silou roviny (to je tá, ktorá spôsobuje, že „závažie nepadá dovnútra kopca“). Časť pôsobiaca rovnobežne s povrchom naklonenej roviny je tá, ktorá aj ťahá za lano.

Jej veľkosť si vyjadríme geometricky. Ak predĺžime vektor gravitačnej sily, vytvoríme kolmicu k zemi a vznikne nám pravouhlý trojuholník tvorený predĺženým vektorom sily, zemou a naklonenou rovinou pod uhlom \(\alpha\). Tu bude mať tretí uhol v trojuholníku veľkosť \(\ang{90} - \alpha\). K tomuto uhlu existuje vrcholový uhol vnútri trojuholníka tvoreného silami, a vďaka tomu vieme nájsť aj tu uhol \(\alpha\) medzi gravitačnou silou a jej zložkou kolmou na kopec.

Pomocou definície sínusu uhla v pravouhlom trojuholníku zistíme, že sila, ktorá ťahá prvé závažie za lano, bude veľká \(m_1 g\sin{\alpha}\), kde \(m_1\) je hmotnosť prvého závažia a \(\alpha\) je uhol sklonu roviny. Druhé závažie voľne visí, teda gravitačná sila pôsobiaca naň, ktorou bude závažie aj ťahať za lano, je \(x g\). Tým, že je lano z oboch strán ťahané závažiami, vzniká v ňom pnutie, ktoré je vo všetkých miestach lana rovnaké. Preto lano drží prvé a aj druhé závažie rovnako veľkými silami¹. Na to, aby sa sa sústava nepohybovala, obe sily, ktorými závažia napínajú lano, sa musia rovnať:

\[m_1 g \sin{\alpha} = x g\text{.}\]

Vydelením oboch strán rovnice gravitačným zrýchlením \(g\) vyjadríme potrebnú hmotnosť druhého závažia, \[x = m_1 \sin{\alpha}\text{.}\]

Zistili sme, aká bude potrebná hmotnosť druhého závažia \(x\) v závislosti od sklonu kopca a hmotnosti prvého závažia. Na záver dosadíme do odvodeného vzťahu konkrétne hodnoty zo zadania, kde \(m_1\) = \(\SI{6}{\kilo\gram}\) a \(\alpha\) = \(\ang{45}\). Dostaneme tak výsledok, že hmotnosť visiaceho závažia je \(x \doteq \SI{4.24}{\kilo\gram}\).