Zadanie

Každý správny účastník vie, že na táborák si treba najprv napíliť drevo1. Ešte správnejší účastník vie, že piliny si treba po sebe vždy upratať. A tých pilín býva teda dosť. Ak z jedného prepíleného kmeňa dostaneme \(\SI{1}{\kilo\gram}\) pilín, koľko pilín budeme mať ak prepílime kmeň, ktorý je dvakrát dlhší a trikrát ťažší? Oba kmene majú rovnakú hustotu a oba pílime rovinami kolmými na ich os.

  1. Pílu samozrejme používajú iba dospelí za prítomnosti zdravotníka.↩

Kmeň môžeme považovať za valec, pílime ho v rovine kolmej na os, čiže na menšie valcové úseky. To znamená, že plocha vnútri kmeňa, cez ktorú je pílené (a vznikajú pri tom piliny), je rovnako veľká ako podstava valca. Ak je táto plocha \(x\)-krát väčšia, pri pílení vyrobíme približne \(x\)-krát viac pilín.

Chceme teda zistiť, koľkokrát je táto plocha väčšia u druhého kmeňa ako u prvého kmeňa. Oba kmene majú rovnakú hustotu, čiže ak je druhý kmeň trikrát ťažší, musí mať aj trikrát väčší objem. Objem valca závisí od jeho dĺžky a plochy podstavy ako \[ l \pi r^2 \text{.} \]

Pomocou tohoto vzorčeka vieme vyjadriť pomer podstáv prvého a druhého kmeňa. Plochu podstavy vieme zlúčiť do jedného člena, keďže nejdeme zisťovať nič o polomeroch. Nesmieme zabudnúť na to, že druhý kmeň je dvakrát taký dlhý ako ten prvý. Keď porovnáme objemy kmeňov, dostávame rovnicu: \[ 2l S_2 = 3 l S_1 \text{,} \]

kde \(l\) je dĺžka prvého kmeňa a \(S_1\), \(S_2\) respektívne plochy. Z tohoto vieme úpravou rovnice dostať \[ S_2 = \num{1.5} S_1 \text{.} \]

Čiže zisťujeme, že plocha podstavy druhého kmeňa bude \(\num{1.5}\)-krát väčšia ako pri tom prvom. Podľa nášho predpokladu budeme mať tým pádom \(\num{1.5}\)-krát viac pilín. Hmotnosť pilín získaných z druhého kmeňa bude teda \(\SI{1.5}{\kilo\gram}\).

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.