5. Mlunné odporníke vzorové riešenie

Zadanie

Ak sú vašou tajnou záľubou spletité elektrické obvody, táto úloha je pre vás tá pravá! Pokochajte sa obvodom znázorneným na obrázku a zistite, aký prúd ním preteká. Aké je napätie na rezistore s odporom \(\SI{6}{\ohm}\)?

Tento príklad sa zameriava na pre vás s veľkou pravdepodobnosťou málo známe oblasti fyziky. Odporúčame preto nazrieť do študijných materiálov nachádzajúcich sa na našej stránke https://ufo.fks.sk/studijne_materialy/.

Aby sme zistili pretekajúci prúd, podľa Ohmovho zákona potrebujeme poznať napätie a odpor celej siete. Táto odporová sieť môže na prvý pohľad vyzerať záludne, no v skutočnosti sa dá veľmi ľahko zjednodušiť. Vieme sa na ňu pozrieť ako na tri paralelné zapojenia za sebou.

Pozrime sa ako nimi bude pretekať prúd. Keď prúd príde na prvú rozdvojku, musí sa rozdeliť medzi vetvu s odporom \(\SI{5}{\ohm}\) a vetvu s odporom \(\SI{0}{\ohm}\). Predstavme si paralelné zapojenie s dvoma rezistormi \(R_1\) a \(R_2\), ktorým tečie prúd \(I\) deliaci sa na \(I_1\) a \(I_2\). Vieme, že pri paralelnom zapojení pre prúdy prechádzajúce rezistormi platí (prúd sa musí na rozdvojke rozdeliť) \[ I = I_1 + I_2\text{.} \] Celkový odpor paralelného zapojenia dvoch rezistorov s odporom \(R_1\) a \(R_2\) je \[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \rightarrow R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}\text{.} \] Z Ohmovho zákona vieme potom zistiť prúdy prechádzajúce cez jednotlivé vetvy: \[ I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{I \cdot R}{R_1} = I \frac{R_2}{R_1+R_2}\text{,} \] \[ I_2 = \frac{U}{R_1} = \frac{I \cdot R}{R_1} = I \frac{R_1}{R_1+R_2}\text{.} \]

Za \(R_1\) si dosadíme \(\SI{5}{\ohm}\) a za \(R_2\) \(\SI{0}{\ohm}\), teda \(I_1\) bude \(\SI{0}{\ampere}\) a \(I_2\) bude \(\SI[parse-numbers = false]{I}{\ampere}\). Všetok prúd potečie vetvou s nulovým odporom. Teda vetvu s odporom \(\SI{5}{\ohm}\) môžeme úplne vymazať. Rovnako to bude fungovať aj na opačnej strane, kde môžeme zmazať vetvu s odporom \(\SI{9}{\ohm}\). Tak sme dostali úplne jednoduché paralelné zapojenie s tromi rezistormi.

Celkový odpor teda bude: \[\frac{1}{R}=\frac{1}{\SI{4}{\ohm}}+\frac{1}{\SI{6}{\ohm}}+\frac{1}{\SI{12}{\ohm}}\text{,}\] \[\frac{1}{R}=\frac{1}{\SI{2}{\ohm}}\text{,}\] \[R=\SI{2}{\ohm}\text{.}\]

Keďže už poznáme celkový odpor siete, vieme pomocou vypočítať aj celkový prúd. \[I=\frac{U}{R}\text{,}\] \[I=\frac{\SI{12}{\volt}}{\SI{2}{\ohm}}=\SI{6}{\ampere}\text{,}\] A aké bude napätie na odpore \(\SI{6}{\ohm}\)? Keďže máme vštky rezistory zapojené paralelne, vieme že napätie je na každej vetve rovnaké, teda na vetve s odporom \(\SI{6}{\ohm}\) bude napätie tiež \(\SI{12}{\volt}\).