Zadanie
Terka od malička snívala o teplom bublinkovom kúpeli s nespočetným množstvom gumených kačičiek. Čím viac skúseností s riešením fyzikálnych úloh však počas svojich účastníckych čias naberala, tým viac sa jej zdalo, že zrealizovať niečo také nebude úplne jednoduché. Okrem iného musí zistiť, koľko kačičiek sa do vane zmestí tak, aby sa z nej voda nevyliala, lebo utierať dlážku sa Terke fakt nechce. Tak si povedala, že si to najprv nasimuluje v menšom.
Zobrala teda svoju obľúbenú valcovú nádobu s polomerom podstavy \(r=\SI{82}{\milli\metre}\) obsahujúcu \(V=\SI{16}{\litre}\) vody, ktorá má hustotu \(\rho_v=\SI[per-mode=symbol]{998}{\kilo\gram\per\cubic\metre}\) a vložila do nej gumenú kačičku tvaru trojbokého hranola výšky \(h=\SI{140}{\milli\metre}\), dĺžky strany podstavy \(a=\SI{12}{\milli\metre}\) a hustoty \(\rho=\SI[per-mode=symbol]{813}{\kilo\gram\per\cubic\metre}\) tak, že jej podstava bola vo vodorovnej polohe. Skúste vypočítať, o koľko stúpla hladina vody v nádobe.
Predstavme si najprv, čo sa bude s vodou v nádobe diať. Vieme, že keď teleso ponoríme do vody, jeho ponorená časť vytlačí vodu z nejakej oblasti. Táto voda nemôže zmiznúť, a teda sa zvýši hladina vody. Je teda fajn zistiť si, aká časť hranola bude pod vodou. Z Archimedovho zákona vieme, že tiaž hranola sa musí rovnať tiaži vytlačenej kvapaliny, pričom hmotnosť hranola vieme vypočítať z jeho objemu a hustoty. Objem ponorenej časti si oznčíme \(V_{\mathrm{pod}}\). \[m_{\mathrm{hranol}} \cdot g=V_{\mathrm{pod}} \cdot \rho_v \cdot g\text{,}\]
\[V_{\mathrm{hranol}} \cdot \rho = V_{\mathrm{pod}} \cdot \rho_v\text{.}\]
Keďže si objem ponorenej časti vieme napísať ako súčin obsahu podstavy a výšky ponorenej časti, potrebujeme zistiť obsah podstavy. Tá vyzerá ako rovnostranný trojuholník. Obsah trojuholníka \(S_\mathrm{hranol}\) je \(\frac{a \cdot v_a}{2}\), kde si výšku \(v_a\) na stranu \(a\) vypočítame z Pytagorovej vety.
\[v_a=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}\text{,}\]
\[v_a=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\text{,}\]
\[S_{\mathrm{hranol}}= \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a^2 }{2}\text{.}\]
Teraz si môžeme rozpísať objem hranola cez obsah podstavy a výšku a oslobodiť z rovnice objem ponorenej časti. \[h \cdot S_{\mathrm{hranol}} \cdot \rho = V_{pod} \cdot \rho_v\text{,}\] \[V_{pod} = \frac{h \cdot S_{\mathrm{hranol}} \cdot \rho}{\rho_v}\text{.}\]
Získali sme objem hranola, ktorý bude ponorený pod vodou. Ako sme na začiatku povedali, rovnaký objem vody bol vytlačený, takže aby sme zistili výšku, o ktorú stúpla hladina, potrebujeme tento objem predeliť obsahom, na ktorom stúpla. Pozrime sa na obrázok. Keď stúpne voda v nádobe, znamená to, že hladina okolo hranola sa zvýši. To znamená, že plocha, ktorou budeme deliť je \(S=S_{\mathrm{nádoba}}-S_{\mathrm{hranol}}\), kde \(S_{\mathrm{nádoba}}=\pi r^2\).
\[\Delta h= \frac{V_{\mathrm{pod}}}{S} = \frac{ \frac{h \cdot S_{\mathrm{hranol}} \cdot \rho}{\rho_v}}{S_{\mathrm{nádoba}}-S_{\mathrm{hranol}}}\]
\[\Delta h= \frac{h \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \cdot \rho}{(\pi r^2 -(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2)) \cdot \rho_v}\]
Teraz stačí už len dosadiť zadané hodnoty v základných SI jednotkách a môžeme sa radovať z výsledku. \[\Delta h=\frac{\num{0.14} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \num{0.012}^2 \cdot 813}{(\pi \cdot \num{0.082}^2 -(\frac{\sqrt{3}}{4}) \cdot \num{0.012}^2) \cdot 998}\]
\[\Delta h \doteq \SI{0.338}{\milli\metre}\]
Zistili sme, že hladina stúpla o približne \(\textbf{\SI{0.34}{\milli\metre}}\), takže Terka si spokojne môže dať do kúpeľa naozaj veľa kačičiek.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.