Zadanie
Pri tematike domácich spotrebičov ostávame aj v ďalšej úlohe. Krtkovi sa totiž do rúk dostala mega super digitálna váha, a ako je to už uňho zvykom, testoval ju na všetkom možnom, čo našiel. Nevedel sa dočkať, kedy ju použije na nejaký cool experiment. Ako sa tak pozeral okolo seba, rozmýšľajúc, čo by ešte vedel odvážiť, padol mu do oka strom. I posmutnel Krtko, lebo strom sa predsa na digitálnej váhe odvážiť nedá. Tak si povedal, že skúsi hmotnosť stromu aspoň odhadnúť. Skúste aj vy odhadnúť hmotnosť nadzemnej časti nejakého stromu vo vašom okolí.
Vyberme si vonku čo najsympatickejší strom a zamyslime sa, ako by sme si mohli úlohu zjednodušiť. Iste, ak by sme strom považovali za valec bolo by to jednoduché. Lenže náš strom má aj konáre a vetvičky, na ktoré len tak nemôžeme zabudnúť. Preto sa zamyslíme, ako zjednodušiť strom tak, aby sme to vedeli spočítať. Najprirodzenejšie zjednodušenie je odhadnúť hmotnosť kmeňa a hmotnosť vetvičiek a tie sčítať. Začneme napríklad tým, že vypočítame hmotnosť kmeňa – keď budeme poznať jeho objem a zistíme aj hustotu dreva, z ktorého náš strom pozostáva, nebude problém vypočítať jeho hmotnosť.
V prvom rade budeme potrebovať výšku nášho stromu. Veľmi jednoduchým príkladom, ako sa dá zistiť výška kmeňa stromu, je pomocou fotoaparátu. Stačí zobrať nejakú tyč známej dĺžky (napr. 1 meter) a priložiť ju ku stromu. Strom odfotíme z dostatočnej diaľky tak, aby ho bolo vidno až po vrch. Pomer dĺžok tyče a stromu na fotke sa musí rovnať aj ich pomeru dĺžok v realite.
\[ \frac{h_{tf}}{h_{sf}} = \frac{h_{t}}{h_{s}}\text{,}\]
\[ \frac{\SI{0.011}{\metre}}{\SI{0.105}{\metre}} = \frac{\SI{0.615}{\metre}}{h_s}\text{,}\]
\[ h_{s} = \SI{5.87}{\metre}\text{.}\]
Ďalej si odmeriame obvod kmeňa nášho stromu. Náš strom má obvod kmeňa \(\SI{2.15}{\metre}\). Z obvodu potrebujeme získať polomer a z polomeru zase obsah prierezu kmeňa. Z obvodu vieme získať polomer tak, že ho vydelíme \(2 \pi\) keďže platí: \(\frac{2 \pi r}{2 \pi} = r\). Z toho si ľahko vypočítame obsah, čo je \(\pi r^2\).
Poďme si do toho dosadiť náš obvod kmeňa: \[r = \frac{2,15}{2\pi} \approx \SI{0.342}{\metre} \text{,}\]
\[S = 0,342^2 \pi \approx \SI{0.367}{\metre\squared}\text{.}\]
Keď už máme obsah kruhovej „podstavy“ kmeňa, stačí dosadiť odhadnutú výšku stromu, vynásobiť tieto dva údaje a máme objem. My sme si odhadli, že náš strom má \(h_{s} = \SI{5.87}{\metre}\). Po vynásobení nám výšlo, že \(V_{\mathrm{kmeň}} = \pi r^2 h_{\mathrm{strom}} = \SI{0.367}{\metre\squared} \cdot \SI{5.87}{\metre} = \SI{2.15}{\metre\cubed}\).
Vieme, že hmotnosť vypočítame vynásobením objemu a hustoty. Takže už nám stačí iba zistiť hustotu stromu. Tú vieme zistiť napríklad tak, že si nájdeme v tabuľkách hodnotu hustoty dreva alebo ju zmeriame experimentálne. Vezmeme nejakú vetvičku z nášho stromu, zmeriame jej obvod, z neho vyrátame obsah, vynásobíme ho zmeranou dĺžkou vetvičky, aby sme dostali objem, a odvážime vetvičku na Krtkovej digitálnej váhe (vetvičku sme rozlámali a tak sme ju dali na váhu). \[o_{\mathrm{vetvička}} = \SI{0.2}{\metre}\text{,}\]
\[r_{\mathrm{vetvička}} = \frac{0.2}{2 \pi} \approx \SI{0.032}{\metre}\text{.}\]
Potom
\[S_{\mathrm{vetvička}} = \pi \SI{0.032}{\metre}^2 \approx \SI{0.00322}{\metre\squared}\text{,}\]
\[l_{\mathrm{vetvička}} = \SI{1.5}{\metre}\text{,}\]
\[V_{\mathrm{vetvička}} = \SI{1.5}{\metre} \cdot \SI{0.00322}{\metre\squared} = \SI{0.00483}{\metre\cubed}\text{,}\]
\[m_{\mathrm{vetvička}} = \SI{0.8}{\kilo\gram}\text{,}\]
a teda
\[\rho_{\mathrm{vetvička}} = \rho_{\mathrm{strom}} = \frac{\SI{0.8}{\kilo\gram}}{\SI{0.00483}{\metre\cubed}} \approx \SI{165.63}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\text{.}\]
Takže hustota nášho kmeňa je \(\SI{165.63}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\).
Z tohoto si vyrátame hmotnosť kmeňa: \[m_{\mathrm{kmeň}} = V_{\mathrm{kmeň}} \rho_{\mathrm{strom}} = \SI{2.15}{\metre\cubed} \cdot \SI{165.63}{\kilo\gram\per\metre\cubed} = \SI{356.82}{\kilo\gram} \text{.}\]
Teraz sa zameriame na druhú časť a tou je rozbor našich vetvičiek. Vetvy majú síce rôznu dĺžku, no dá sa povedať, že ich dĺžka rovnomerne klesá smerom nahor po strome.
Jednu zo spodnejších haluzí odsekneme / ulomíme a odvážime. Má dĺžku približne \(l_{\mathrm{haluz}} \approx \SI{1.2}{\metre}\) a hmotnosť približne \(m_{\mathrm{haluz}} \approx \SI{2.3}{\kilo\gram}\). Pretože je z tých spodnejších, predpokladáme, že je jednou z najdlhších.
Všimnime si, že čím vyššie na strom sa pozrieme, tým kratšie haluze sa na ňom nachádzajú. Budeme teda predpokladať, že sa skracujú rovnomerne s vzrastajúcou výškou stromu, až na vrchu máme haluze s nulovou dĺžkou. Z toho vyplýva, že môžeme počítať s tým, že všetky haluze majú polovičnú dĺžku oproti najdlhšej, najnižšie položenej.
Pre zovšeobecnenie problému budeme uvažovať s tým, že hmotnosť listov a drobnejších konárov je rovnomerne rozložená po celej haluzi. Ak teda najdlhžia z nich vážila približne \(m_{h0} \approx \SI{2.3}{\kilo\gram}\), priemerná haluz bude vážiť \(m_{h} \approx \SI{1.15}{\kilo\gram}\).
Pri pohľade na náš strom usudzujeme, že približne každých vychádzajú zo stromu zhruba 4 haluze, v našom prípade s ihličím. Prvá haluz zo stromu vychádza približne vo výške \(\SI{1.2}{\metre}\). Na strome je teda približne \(4 \frac{h_{s} - \SI{1.2}{\metre}}{\SI{0.3}{\metre}} \approx 62\) haluzí. Ak priemerná haluz s menšími konárikmi a ihličím váži \(\SI{1.15}{\kilo\gram}\), celková hmotnosť haluzí na strome bude približne \(62 \cdot \SI{1.15}{\kilo\gram} \approx \SI{71.6}{\kilo\gram}\).
Súčtom hmotnosti haluzí a kmeňa získame celkovú hmotnosť nášho stromu, čo činí približne \[\SI{71.6}{\kilo\gram} + \SI{356.82}{\kilo\gram} = \SI{428.43}{\kilo\gram}\text{.}\]
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.