4. Strom vzorové riešenie

Vyberme si vonku čo najsympatickejší strom a zamyslime sa, ako by sme si mohli úlohu zjednodušiť. Iste, ak by sme strom považovali za valec bolo by to jednoduché. Lenže náš strom má aj konáre a vetvičky, na ktoré len tak nemôžeme zabudnúť. Preto sa zamyslíme, ako zjednodušiť strom tak, aby sme to vedeli spočítať. Najprirodzenejšie zjednodušenie je odhadnúť hmotnosť kmeňa a hmotnosť vetvičiek a tie sčítať. Začneme napríklad tým, že vypočítame hmotnosť kmeňa – keď budeme poznať jeho objem a zistíme aj hustotu dreva, z ktorého náš strom pozostáva, nebude problém vypočítať jeho hmotnosť.

V prvom rade budeme potrebovať výšku nášho stromu. Veľmi jednoduchým príkladom, ako sa dá zistiť výška kmeňa stromu, je pomocou fotoaparátu. Stačí zobrať nejakú tyč známej dĺžky (napr. 1 meter) a priložiť ju ku stromu. Strom odfotíme z dostatočnej diaľky tak, aby ho bolo vidno až po vrch. Pomer dĺžok tyče a stromu na fotke sa musí rovnať aj ich pomeru dĺžok v realite.

\[ \frac{h_{tf}}{h_{sf}} = \frac{h_{t}}{h_{s}}\text{,}\]

\[ \frac{\SI{0.011}{\metre}}{\SI{0.105}{\metre}} = \frac{\SI{0.615}{\metre}}{h_s}\text{,}\]

\[ h_{s} = \SI{5.87}{\metre}\text{.}\]

Ďalej si odmeriame obvod kmeňa nášho stromu. Náš strom má obvod kmeňa \(\SI{2.15}{\metre}\). Z obvodu potrebujeme získať polomer a z polomeru zase obsah prierezu kmeňa. Z obvodu vieme získať polomer tak, že ho vydelíme \(2 \pi\) keďže platí: \(\frac{2 \pi r}{2 \pi} = r\). Z toho si ľahko vypočítame obsah, čo je \(\pi r^2\).

Poďme si do toho dosadiť náš obvod kmeňa: \[r = \frac{2,15}{2\pi} \approx \SI{0.342}{\metre} \text{,}\]

\[S = 0,342^2 \pi \approx \SI{0.367}{\metre\squared}\text{.}\]

Keď už máme obsah kruhovej „podstavy“ kmeňa, stačí dosadiť odhadnutú výšku stromu, vynásobiť tieto dva údaje a máme objem. My sme si odhadli, že náš strom má \(h_{s} = \SI{5.87}{\metre}\). Po vynásobení nám výšlo, že \(V_{\mathrm{kmeň}} = \pi r^2 h_{\mathrm{strom}} = \SI{0.367}{\metre\squared} \cdot \SI{5.87}{\metre} = \SI{2.15}{\metre\cubed}\).

Vieme, že hmotnosť vypočítame vynásobením objemu a hustoty. Takže už nám stačí iba zistiť hustotu stromu. Tú vieme zistiť napríklad tak, že si nájdeme v tabuľkách hodnotu hustoty dreva alebo ju zmeriame experimentálne. Vezmeme nejakú vetvičku z nášho stromu, zmeriame jej obvod, z neho vyrátame obsah, vynásobíme ho zmeranou dĺžkou vetvičky, aby sme dostali objem, a odvážime vetvičku na Krtkovej digitálnej váhe (vetvičku sme rozlámali a tak sme ju dali na váhu). \[o_{\mathrm{vetvička}} = \SI{0.2}{\metre}\text{,}\]

\[r_{\mathrm{vetvička}} = \frac{0.2}{2 \pi} \approx \SI{0.032}{\metre}\text{.}\]

Potom

\[S_{\mathrm{vetvička}} = \pi \SI{0.032}{\metre}^2 \approx \SI{0.00322}{\metre\squared}\text{,}\]

\[l_{\mathrm{vetvička}} = \SI{1.5}{\metre}\text{,}\]

\[V_{\mathrm{vetvička}} = \SI{1.5}{\metre} \cdot \SI{0.00322}{\metre\squared} = \SI{0.00483}{\metre\cubed}\text{,}\]

\[m_{\mathrm{vetvička}} = \SI{0.8}{\kilo\gram}\text{,}\]

a teda

\[\rho_{\mathrm{vetvička}} = \rho_{\mathrm{strom}} = \frac{\SI{0.8}{\kilo\gram}}{\SI{0.00483}{\metre\cubed}} \approx \SI{165.63}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\text{.}\]

Takže hustota nášho kmeňa je \(\SI{165.63}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\).

Z tohoto si vyrátame hmotnosť kmeňa: \[m_{\mathrm{kmeň}} = V_{\mathrm{kmeň}} \rho_{\mathrm{strom}} = \SI{2.15}{\metre\cubed} \cdot \SI{165.63}{\kilo\gram\per\metre\cubed} = \SI{356.82}{\kilo\gram} \text{.}\]

Teraz sa zameriame na druhú časť a tou je rozbor našich vetvičiek. Vetvy majú síce rôznu dĺžku, no dá sa povedať, že ich dĺžka rovnomerne klesá smerom nahor po strome.

Jednu zo spodnejších haluzí odsekneme / ulomíme a odvážime. Má dĺžku približne \(l_{\mathrm{haluz}} \approx \SI{1.2}{\metre}\) a hmotnosť približne \(m_{\mathrm{haluz}} \approx \SI{2.3}{\kilo\gram}\). Pretože je z tých spodnejších, predpokladáme, že je jednou z najdlhších.

Všimnime si, že čím vyššie na strom sa pozrieme, tým kratšie haluze sa na ňom nachádzajú. Budeme teda predpokladať, že sa skracujú rovnomerne s vzrastajúcou výškou stromu, až na vrchu máme haluze s nulovou dĺžkou. Z toho vyplýva, že môžeme počítať s tým, že všetky haluze majú polovičnú dĺžku oproti najdlhšej, najnižšie položenej.

Pre zovšeobecnenie problému budeme uvažovať s tým, že hmotnosť listov a drobnejších konárov je rovnomerne rozložená po celej haluzi. Ak teda najdlhžia z nich vážila približne \(m_{h0} \approx \SI{2.3}{\kilo\gram}\), priemerná haluz bude vážiť \(m_{h} \approx \SI{1.15}{\kilo\gram}\).

Pri pohľade na náš strom usudzujeme, že približne každých vychádzajú zo stromu zhruba 4 haluze, v našom prípade s ihličím. Prvá haluz zo stromu vychádza približne vo výške \(\SI{1.2}{\metre}\). Na strome je teda približne \(4 \frac{h_{s} - \SI{1.2}{\metre}}{\SI{0.3}{\metre}} \approx 62\) haluzí. Ak priemerná haluz s menšími konárikmi a ihličím váži \(\SI{1.15}{\kilo\gram}\), celková hmotnosť haluzí na strome bude približne \(62 \cdot \SI{1.15}{\kilo\gram} \approx \SI{71.6}{\kilo\gram}\).

Súčtom hmotnosti haluzí a kmeňa získame celkovú hmotnosť nášho stromu, čo činí približne \[\SI{71.6}{\kilo\gram} + \SI{356.82}{\kilo\gram} = \SI{428.43}{\kilo\gram}\text{.}\]