Zadanie
Jedného pekného rána Krtko ako obyčajne vzal do ruky svoju lopatku a prehovoril k nej veľmi emotívnym duševným monológom. Zdalo sa mu totiž, že použitím na jej pôvodný účel nevyužíva lopatka naplno svoj potenciál a Krtko by s tým rád niečo spravil. Navyše sa mu zachcelo vypestovať si slušné bicepsy. Preto si povedal, že bude chodiť s lopatkou veslovať. Vhodnou vodnou plochou pre Krtka bolo blízke jazero, do ktorého sa vlievala rieka. Keďže Krtko je človek zaneprázdnený, rád by zistil, či je časovo náročnejšie preveslovanie pevnej vzdialenosti tam a naspäť po jazere alebo po rieke. Skúste mu pomôcť vyriešiť tento problém.
Krtko zobral svoju lopatku a vybral sa na jazero. Chce prejsť nejakú pevnú vzdialenosť tam a späť po jazere a zistiť, koľko času mu to zaberie. Vzdialenosť tam a späť si môžeme označiť ako \(2s\). Keďže chceme zistiť čas, použijeme rovnicu \(t_j = \frac{2s}{v_K}\).
Teraz sa zvedavý Krtko presunie aj so svojou lopatkou ku rieke a snaží sa zistiť rovnakú vec. Pri rieke je to ale zapeklitejšie, pretože rieka tečie nejakou svojou rýchlosťou \(v_r\). Rieka musí tiecť pomalšie, ako je Krtkova rýchlosť, lebo ak by išiel Krtko proti prúdu, ktorý je rýchlejší ako on sám, posúvalo by ho dozadu. Pevná vzdialenosť a Krtkova rýchlosť sa nezmenili, takže stále musí prejsť vzdialenosť \(s\) s rýchlosťou \(v_K\). Tentokrát však ide proti prúdu, takže ho rieka bude spomaľovať. Čas si teda vyjadríme ako \(t_1 = \frac{s}{v_K - v_r}\). Keď pôjde späť, pôjde po prúde, takže ho rieka bude zrýchľovať. To si zase vyjadríme ako \(t_2 = \frac{s}{v_K + v_r}\). Takže celkový čas bude \(t_r = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_K - v_r} + \frac{s}{v_K + v_r}\).
Sedláckym rozumom by sme povedali, že časy, za ktoré prešiel pevnú vzdialenosť tam a späť na jazere a rieke, budú rovnaké, keďže na rieke cestou tam stratil nejaký čas, ktorý potom „dobehol“ cestou späť. Opak je však pravdou. Keď máme vzorec \(t_r = \frac{s}{v_K - v_r} + \frac{s}{v_K + v_r}\), vieme si ho upraviť na \[\begin{aligned} t_r &= \frac{s(v_K + v_r)}{(v_K - v_r)(v_K + v_r)} + \frac{s(v_K - v_r)}{(v_K - v_r)(v_K + v_r)} \\ &= \frac{s(v_K + v_r) + s(v_K - v_r)}{(v_K - v_r)(v_K + v_r)} \\ &= \frac{sv_K + sv_r + sv_K - sv_r}{v_K^2 + v_Kv_r - v_Kv_r - v_r^2} \\ &= \frac{2sv_K}{v_K^2 - v_r^2} \\ &= \frac{2s}{v_K - v_r^2}\text{.} \end{aligned}\]
Poďme si tieto dva časy porovnať. Vždy bude platiť, že \[ \frac{2s}{v_K}<\frac{2s}{v_K - v_r^2}\text{.} \]
Vidíme, že Krtkovi trvá dlhšie prejsť pevnú vzdialenosť tam a späť po rieke, ako po jazere. Je to kvôli tomu, že čas, ktorý prejde po riekem má v menovateli Krtkovu rýchlosť mínus rýchlosť rieky na druhú, takže menovateľ bude menší ako pri čase, ktorý prejde na jazere. To znamená, že po vydelení zlomku budeme mať väčšie číslo, ako pri čase na jazere.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.