Zadanie

Čo asi robí taký Marek po večeroch na dvojkolesovačkách? Určite nesedí v stane a nerieši fyzikálne problémy, preto existuje táto úloha. Pri prekonávaní terénnej členitosti, teda kopcov, treba totiž vhodne používať prevodovku. Marek by rád vedel, prečo musí pri ceste hore kopcom zaradiť ľahší prevod. A pretože Mareka nie je ľahké presvedčiť, rád by to mal podložené aj nejakými rovnicami.

Každý, kto sa už pri bicyklovaní hral sa prevodmi na bicyklim si určite všimol, že po zaradení ľahšieho prevodu stačí na otočenie pedálov menšia sila, zatiaľ čo po zaradení ťažšieho potrebuje na otočenie pedálov vynaložiť väčšie úsilie. Rovnako ste si asi všimli, že pri ťažšom prevode nám treba na udržanie určitej rýchlosti spraviť menej záberov pedálmi ako pri ľahšom prevode.

Tu si treba uvedomiť, že práca, ktorú pri bicyklovaní vykonáme na prejdenie určitej vzdialenosti sa nezmení. A teda ak napríklad zaradíme ľahší prevod, čiže budeme na pedále pôsobiť menšou silou, budeme musieť touto silou pôsobiť po dlhšej dráhe, čiže budeme musieť spraviť viac záberov pedálmi. Poďme si tieto dva prípady porovnať.

Práca, ktorú Marek vykoná pri jednom otočení pedálov, je rovná nárastu jeho potenciálnej energie. Predpokladajme, že Marek pôsobí na pedále rovnomerne a vždy kolmo na kľuky. Potom ak dĺžka kľúk je \(r_1\), Marek pôsobí nejakou silou \(F_1\) po dráhe \(2\pi r_1\) a teda pri jednom otočení pedálov vykoná prácu \(W=F_1 \times 2\pi r_1\).

Označme si polomer predného ozubeného kolieska ako \(r_2\) a zadného ako \(r_3\). Potom na jedno otočenie pedálov sa reťaz na bicykli posunie o obvod predného ozubeného kolieska, teda o \(2\pi r_2\). Podobne na jedno otočenie zadného kolieska treba reťaz posunúť o \(2\pi r_3\), čiže zadné koliesko sa pri jednom otočení predného kolieska otočí \((r_2/r_3)\)-krát. To ale znamená, že \((r_2/r_3)\)-krát sa otočí aj zadné koleso bicykla, čiže Marek prejde vzdialenosť \(2\pi R\frac{r_2}{r_3}\), kde R je polomer zadného kolesa.

Označme si sklon kopca, do ktorého Marek stúpa, ako \(\alpha\). Potom Marek na jedno otočenie pedálov vystúpi o \(2\pi R\frac{r_2}{r_3} \sin(\alpha)\) vyššie a teda jeho polohová energia narastie o \(F_g \cdot 2\pi R\frac{r_2}{r_3} \sin\alpha\), kde \(F_g\) je tiažová sila pôsobiaca na Mareka aj s bicyklom. \[ W = F_1 \times 2 \pi r_1 = F_g \times 2\pi R\frac{r_2}{r_3} \sin(\alpha) = \Delta E_p F_1 = \frac{r_2}{r_3} m g \frac{R}{r_1} \sin (\alpha) \]

Tu si všimnime, že jediná časť tejto rovnice, ktorú vie Marek pri bicyklovaní ovplyvniť, je \(\frac{r_2}{r_3}\). Vieme, že obvod kružnice je lineárne závislý od jej polomeru, preto \[ \frac{r_2}{r_3}=\frac{\text{počet zubov na prednom prevode}}{\text{počet zubov na zadnom prevode}}\text{.} \]

Nech pre ukážku Marekov bicykel má na prednom prevode 44 a 24 zubov a na zadnom 32 až 11. Potom, ak by do kopca ťahal, kým by mal zaradené 44/11, potreboval by na to silu \(F_1 = \frac{44}{11} m g \frac{R}{r_1} \sin\alpha\), a ak by mal zaradené 24/32, tak \(F_2 = \frac{24}{32} m g \frac{R}{r_1} \sin\alpha = \frac{3}{16} F_1\).

Tu vidíme, že ak by si Marek pri stúpaní do kopca preradil z naťažšieho prevodu na najľahší, potreboval by na pedále pôsobiť len \(\frac{3}{16}\) pôvodnej sily. Dodajme však, že by musel ale aj urobiť \(\frac{16}{3}\)-krát viac otočiek pedálov, pretože práca potrebná na vystúpanie na kopec sa nezmenila.

Navyše si ešte môžeme všimnúť, že ak by mal Marek zaradený najťažší prevod a pre uhol \(\alpha\) by platilo, že \(\sin\alpha \ge \frac{r_1}{4R}\), tak \[ F_1 = \frac{44}{11} mg \frac{R}{r_1} \sin (\alpha) \ge \frac{44}{11} mg \frac{R}{r_1} \frac{r_1}{4R} = mg = F_g\text{.} \]

To by znamenalo, že Marek by musel na pedále pôsobiť väčšou silou, ako je jeho tiaž. To je dosť náročné, keďže bežne pedále bežne otáčame práve prenášaním vlastnej hmotnosti z jedného na druhý, a v tomto prípade by to určite nestačilo.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.