2. Ľad a oheň vzorové riešenie

Marek potrebuje vyrezať kruhovú dieru do ľadu s využitím žeravého železného valca. Tento valec musí prejsť celou hrúbkou ľadu. Na to, aby prešiel ľadom, musí ho zohriať a roztopiť. Uvedomme si, že na to, aby všetok tento ľad zohrial a roztopil, musí mu dodať dostatočné množstvo tepla. Aké je však toto teplo? Poďme ho vypočítať. Aby sme mohli teplo potrebné na zohriatie a roztopenie ľadu vypočítať, musíme poznať jeho objem. Nakoľko Marek otvor vyreže železným valcom, aj diera v ľade bude mať tvar valca. Jeho polomer bude \(r=\SI{0.2}{\metre}\) (rovnako ako polomer valca) a jeho výška bude \(h=\SI{0.3}{\metre}\) (rovnako ako hrúbka ľadu). Vieme teda vyjadriť objem ako \[ V_{\mathrm{ľad}}=\pi r^2 h\text{.} \]

Z objemu vieme vypočítať hmotnosť ľadu \[ m_{\mathrm{ľad}}=V_{\mathrm{ľad}} \rho_{\mathrm{ľad}}=\pi r^2 h \rho_{\mathrm{ľad}}\text{,} \]

kde \(\rho_{\mathrm{ľad}}\) je hustota ľadu. No a teraz už môžeme prejsť k samotnému výpočtu tepla. Z tzv. kalorimetrickej rovnice \[ Q=c_{\mathrm{ľad}} m_{\mathrm{ľad}} \Delta t_{\mathrm{ľad}} \]

vieme vypočítať teplo potrebné na zohriatie ľadu (\(c_{\mathrm{ľad}}\) je hmotnostná tepelná kapacita ľadu a \(\Delta t_{\mathrm{ľad}}\) je rozdiel teplôt, ktorý pri zohrievaní ľad prekoná) a z rovnice skupenského tepla topenia \[ L_t = l_{t_{\mathrm{ľad}}} m_{\mathrm{ľad}} \]

zas vieme vypočítať teplo potrebné na jeho roztopenie (\(l_{t_{\mathrm{ľad}}}\) je merné skupenské teplo topenia/tuhnutia ľadu). Súčtom týchto dvoch rovníc dostaneme teplo, ktoré je potrebné dodať ľadu s teplotou \(\SI{-4}{\celsius}\) na jeho úplné roztopenie (označme ho \(Q_{\mathrm{ľad}}\)): \[\begin{aligned} Q_{\mathrm{ľad}} &= Q+L_t=c_{\mathrm{ľad}} m_{\mathrm{ľad}} \Delta t_{\mathrm{ľad}}+l_{t_{\mathrm{ľad}}} m_{\mathrm{ľad}}=m_{\mathrm{ľad}} (c_{\mathrm{ľad}} \Delta t_{\mathrm{ľad}}+l_{t_{\mathrm{ľad}}})\text{,} \\ &= \pi r^2 h \rho_{\mathrm{ľad}} (c_{\mathrm{ľad}} \Delta t_{\mathrm{ľad}}+l_{t_{\mathrm{ľad}}})\text{,} \\ &= \pi\cdot(\SI{0.2}{\metre})^2\cdot\SI{0.3}{\metre}\cdot\SI{916.7}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\cdot(\SI{2.1}{\kilo\joule\per\kilo\gram\per\degreeCelsius}\cdot\SI{4}{\degreeCelsius}+\SI{333.7}{\kilo\joule\per\kilo\gram}) \end{aligned}\]

a teda \[ \boxed{Q_{\mathrm{ľad}}\approx\SI{11822.56}{\kilo\joule}}\text{.} \]

Výborne. Máme zistené, koľko tepla potrebujeme dodať ľadu. Sme mu však schopní toľko tepla poskytnúť? Odovzdá železný valec pri jeho schladzovaní aspoň \(Q_{\mathrm{ľad}}\) tepla? Poďme sa na to pozrieť. Železný valec pri svojom ochladzovaní z \(\SI{1000}{\celsius}\) na \(\SI{0}{\celsius}\) odovzdá okoliu nejaké množstvo tepla. Túto hodnotu vieme opäť vypočítať pomocou kalorimetrickej rovnice: \[ Q_{\mathrm{železo}}=c_{\mathrm{železo}} m_{\mathrm{železo}} \Delta t_{\mathrm{železo}}\text{,} \]

kde \(c_{\mathrm{železo}}\) je hmotnostná tepelná kapacita železa, \(m_{\mathrm{železo}}\) je hmotnosť železného valca a \(\Delta t_{\mathrm{železo}}\) je rozdiel teplôt, ktorý železný valec pri ochladzovaní prekoná. \[ Q_{\mathrm{železo}}=\SI{0.452}{\kilo\joule\per\kilo\gram\per\degreeCelsius}\cdot\SI{20}{\kilo\gram}\cdot\SI{1000}{\degreeCelsius}\text{,} \] \[ \boxed{Q_{\mathrm{železo}}=\SI{9040}{\kilo\joule}}\text{.} \]

Vidíme, že teplo, ktoré je schopné poskytnúť železo, je menšie ako teplo, ktoré potrebuje ľad na svoje zohriatie a následné úplné roztopenie. To znamená, že Marekovi sa žiaľ dieru v ľade týmto valcom vyrezať nepodarí.

Samozrejme, ak by sme aj dostali na konci, že \(Q_{\mathrm{železo}}\geq Q_{\mathrm{ľad}}\), v reálnom svete to ešte stále nemusí znamenať, že sa nám dieru vyzerať podarí. Dôvodom je, že železný valec svoje teplo neodovzdáva len ľadu, ale aj okolitému prostrediu.