2. Z trochu iného súdka vzorové riešenie

Keď ste si prvýkrát prečítali túto úlohu, pravdepodobne ste ostali v miernom šoku, čo za jednotky sú v nej použité. Prvým dôležitým krokom bolo zistiť, či jednotky obsahujú predpony. Naše SI jednotky obsahujú predpony ako piko (\(10^{-12}\)), atto (\(10^{-18}\)) alebo mikro (\(10^{-6}\)), avšak žiadne sirio medzi nimi nenájdeme.

Premeny jednotiek

Následne, keď už vieme, aké jednotky máme hľadať na internete, môžeme sa do toho pustiť. Piktún je časť Mayského kalendára, ktorá tvorila \(\num{2880000}\) kin¹, čo keď si prerátame na sekundy, dostaneme \(\SI{248832000000}{\second}\).

Pes quadratus by podľa zadania mala byť jednotka plochy. Po chvíli googlenia sa dá dostať k informácii, že je to preklad slovného spojenia stopa štvorcová do latinčiny, čo je teda \(\SI{0,08744}{\metre\squared}\).

Ďalej máme v zadaní siriometre, ktorých význam vieme nájsť napríklad na Wikipédii, kde taktiež uvádzajú, že je to \(\SI{149597870000000000}{\metre}\).

Potom musíme ešte vyhľadať, koľko sekúnd je jeden sol. Zo zadania je totiž zrejmé², že sa jedná o jednotku času. No a po troške pátrania zistíme, že sa jedná o jeden deň na povrchu planéty Mars. Teda jeden sol je \(\SI{88775,244}{\second}\).

No a nakoniec si vyhľadáme rakúske kvintlíky. Po možno trošku dlhšej chvíli hľadania zistíme, že libra³ sa skladá zo 128 kvintlíkov alebo kventlíkov a teda, že jeden kvintlík z rakúskej alebo viedenskej libry je \(\SI{0,004375}{\kilogram}\).

Akonáhle sme si vyzistili, ako sa majú tieto exotické jednotky premeniť na naše SI jednotky, tak sa môžeme vrhnúť na vyrátanie úlohy. Existujú dva spôsoby, ktorými sa táto úloha dala počítať.

Prvý spôsob

Pri prvom spôsobe si povieme, že pohár má rovnakú podstavu ako prierez kohútika. Ďalej chceme zistiť objem tekutiny, ktorá do pohára vtečie za určitý čas. Z tejto úvahy nám príde vcelku intuitívne, že keď kvapalina priteká rýchlosťou napríklad meter za sekundu, tak po jednej sekunde budeme mať hladinu vo výške jedného metra. Teda objem vieme vypočítať ako obsah postavy vynásobený rýchlosťou, akou vyteká kvapalina z kohútika a vydelením časom, za ktorý kvapalina vytiekla. Takáto rovnica vyzerá nasledovne: \[ V = S v t\text. \] Marek by však rád zistil hustotu danej kvapaliny a nie jej objem. Preto si Marek nakoniec kvapalinu odvážil. Keďže vieme, že hustotu vieme vypočítať ako \(\rho = \frac{m}{V}\), tak výsledná rovnica bude \[ \rho = \frac{m}{S v t}\text. \]

Druhý spôsob

Druhý spôsob riešenia zahŕňa rovnicu kontinuity, ktorá je použitá v odvodení Bernoulliho rovnice. Rovnica kontinuity vyzerá ako \(\rho_1 \cdot S_1 \cdot v_1 = \rho_2 \cdot S_2 \cdot v_2\), pričom rátame s tým, že prúdenie kvapaliny je ustálené, takže v kohútiku sa nemôže nahromadiť tekutina. Z tohto celého nám vyplýva, že môžeme použiť vzorec \(m = \rho \cdot S \cdot v \cdot t\). Z takéhoto vzťahu vie Marek veľmi jednoducho zistiť hustotu kvapaliny. Stačí si ju iba vyjadriť a dosadiť naše hodnoty do vzorca \[ \rho = \frac{m}{S v t}\text. \] Je to presne tá istá rovnica ako v prvom spôsobe.

Mohol sa Marek Kvapaliny napiť?

Odpoveď znie, nie!

Po dosadení všetkých hodnôt a konverzii všetkých jednotiek aj s SI predponami dostaneme \[ \begin{aligned} \rho &= \frac{m}{S v t}\text{,}\\ \rho &= \frac{\num{370} \cdot \SI{0,004375}{\kilogram}}{\num{0,001}\cdot\SI{0,08744}{\metre\squared} \cdot \frac{\num{2}\cdot 10^{-18} \cdot \SI{149597870000000000}{\metre}}{10^{-6} \cdot \SI{88775,244}{\second}} \cdot 12 \cdot 10^{-12}\cdot \SI{248832000000}{\second}}\text{,}\\ \rho &= \frac{\SI{1,61875}{\kilogram}}{\SI{0,00008744}{\metre\squared} \cdot \frac{\SI{0,29919574}{\metre}}{\SI{0,088775244}{\second}} \cdot \SI{2,985984}{\second}}\text{,}\\ \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \rho &= \frac{\SI{1,61875}{\kilogram}}{\SI{0,00008744}{\metre\squared} \cdot \SI{3,3702609705020916}{\metre\per\second} \cdot \SI{2,985984}{\second}}\text{,}\\ \rho &= \frac{\SI{1,61875}{\kilogram}}{\SI{0,0008799564039825509}{\metre\cubed}}\text{,}\\ \rho &= \SI{1839.579770854306}{\kilogram\per\metre\cubed}\text{.} \end{aligned} \] Ak sa pozrieme do rôznych chemických tabuliek, zistíme, že k nami vyrátanej hustote má najbližšie kyselina sírová, ktorej by sa Marek určite napiť nemal.