Zadanie
Jaro a Marcel sa stavili, kto prvý prebehne od zvolenskej železničnej stanice k Marcelovmu domu. Chlapci trénovali každý deň, lebo obidvaja chceli vyhrať. Jaro je však starší a rýchlejší, takže mu cesta trvá iba \(35\) minút, pričom Marcelovi trvá cesta až \(60\) minút. Obaja bežia celý čas konštantnou rýchlosťou.
Po týždni sa dohodli, že preteky začnú v sobotu presne o 12:00. Ale ako vždy, Jaro meškal. Odbilo \(\num{12}\) hodín a Marcel si povedal, že nebude na Jara čakať. Jaro prišiel na železničnú stanicu o 12:05 a hneď začal bežať s nádejou ešte stále vyhrať preteky. V akej časti dráhy medzi stanicou a Marcelovým domom dobehne Jaro Marcela?
To, čo vieme, je, že v momente, keď sa dobehnú, tak sa ich dráhy budú rovnať. Vieme teda, že:
\[s_{\mathrm{Jara\,pri\,dobehnutí}} = s_{\mathrm{Marcela\,pri\,dobehnutí}}\text.\]
Z toho teda vieme, že keďže \(s=vt\), tak ak si označíme veci, čo sa týkajú Marcela s indexom \(M\), veci, čo sa týkajú Jara s indexom \(J\), čas, za ktorý sa dobehnú ako \(t\), a rozdiel medzi nimi (tých \(5\) minút) ako \(T\), potom:
\[ v_M t = v_J (t - T)\text. \]
Obe rýchlosti, aj Jarovu, aj Marcelovu, vieme vyjadriť z ich celkovej dráhy ako:
\[ v_M = \frac{s}{t_M}\text, \qquad v_J = \frac{s}{t_J}\text. \]
Keď si to dosadíme, dostaneme:
\[ \frac{s}{t_M} t = \frac{s}{t_J} (t - T)\text. \]
Dráhu \(s\) môžeme vykrátiť, a teda
\[\frac{t}{t_M} = \frac{t - T}{t_J}\text, \]
čím dostávame rovnicu, v ktorej už všetko okrem \(t\) poznáme, a teda si ho vyjadríme.
\[\begin{aligned} \frac{t}{t_M} &= \frac{t}{t_J} - \frac{T}{t_J}\text,\\ \frac{t}{t_J} - \frac{t}{t_M} &= \frac{T}{t_J}\text,\\ t \frac{t_M - t_J}{t_M t_J} &= \frac{T}{t_J}\text,\\ t &= \frac{T t_M t_J}{t_J(t_M-t_J)}\text.\\ \end{aligned}\]
Z pravej strany vykrátime \(t_J\) a dostaneme:
\[t = \frac{T t_M}{t_M-t_J}\text.\]
Po dosadení dostávame, že:
\[t = \SI{12}{\min}\text.\]
Ibaže nás zaujíma časť dráhy, v ktorej sa dobehnú. Vieme teda, že sa dobehnú po \(\SI{12}{\min}\) od toho, ako Marcel začal bežať. Marcelovi celá trasa trvá 60 minút, a teda po 12 minútach bude v \(\frac{12}{60}\) dráhy, čo je po vykrátení \(\frac{1}{5}\) celkovej dráhy.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.