5. Prší, prší, len sa leje vzorové riešenie

Už zadanie nám samo o sebe našepkáva, že pri riešení úlohy chceme využiť odporové sily. Poďme si teda o nich niečo povedať. Kvapka padá smerom dole rýchlosťou \(v\). Pri tom ale rozráža vrstvy vzduchu, ktoré ju teda turbulentne obtekajú, a teda sa tesne nad kvapkou vytvárajú víry. To spôsobuje, že proti smeru pohybu kvapky nám vzniká odporová sila, ktorej veľkosť vieme vypočítať ako

\[F_o=\frac12CS\rho_{\mathrm{prostredie}} v^2\text,\]

kde \(C\) je tzv. koeficient aerodynamického odporu (závisí od tvaru telesa a zisťuje sa experimentálne), \(S\) je obsah prierezu telesa, \(\rho_{\mathrm{prostredie}}\) je hustota prostredia, v ktorom sa teleso nachádza (v našom prípade je to vzduch) a \(v\) je rýchlosť telesa vzhľadom na prostredie.

Všimnime si, že gravitačná sila \(F_G\) a odporová sila \(F_o\) pôsobia v navzájom opačných smeroch, a preto bude zaujímavé porovnať ich veľkosti.

Väčšia gravitačná sila

Čo sa s kvapkou deje, ak na ňu pôsobí väčšia gravitačná sila ako odporová? Keďže tieto sily pôsobia na kvapku v navzájom opačných smeroch, tak celková sila pôsobiaca na kvapku je \(F=F_G-F_o\) v smere pohybu kvapky. Čo to ale pre kvapku znamená? Z druhého Newtonovho zákona vieme, že ak na teleso pôsobíme v smere jeho pohybu, tak sa jeho rýchlosť zvyšuje. No ale tým, že sa zvyšuje rýchlosť kvapky, tak sa zvyšuje aj odporová sila, ktorá na ňu pôsobí. Môžeme si uvedomiť, že rýchlosť sa nám bude zvyšovať dovtedy, kým sa sily nevyrovnajú.

Väčšia odporová sila

Teraz si uvedomme, čo sa s kvapkou deje, ak na ňu pôsobí väčšia odporová sila ako gravitačná. Celková sila pôsobiaca na kvapku je \(F=F_o-F_G\) proti smeru pohybu, a teda z druhého Newtonovho zákona kvapka spomaľuje. Znižuje sa teda aj odporová sila, ktorá na ňu pôsobí, a teda aj výslednica síl. Zase si môžeme uvedomiť, že rýchlosť sa bude znižovať, až kým sa sily nevyrovnajú.

Sily sú v rovnováhe

Máme tu ten posledný prípad, a to \(F_o=F_G\). Keďže tieto sily pôsobia v navzájom opačných smeroch, tak sa navzájom vynulujú, a teda celková sila pôsobiaca na kvapku je nulová. Tu ale z prvého Newtonovho zákona vieme, že kvapka je teda v rovnomernom pohybe, a jej rýchlosť sa teda nemení. Z toho ďalej vieme, že ani odporová sila pôsobiaca na kvapku sa nemení, a teda sú už sily pôsobiace na kvapku stabilné. Rýchlosť, pri ktorej sa kvapka dostane do tohoto štádia, sa nazýva medzná alebo aj terminálna rýchlosť. No, a keďže kvapky padajú z výšky niekoľkých kilometrov, tak v čase, keď ich zazrela Terka, už určite dosiahli medznú rýchlosť.

Rýchlosť kvapky vzhľadom na jej veľkosť

Keďže už vieme niečo o silách pôsobiacich na kvapku, môžeme prejsť k výpočtu. Kvapka je tvaru gule a pre guľu platí, že čím má vačší polomer \(r\), tým má väčší aj objem \(V\), a preto vyjadríme rýchlosť kvapky vzhľadom na jej polomer. Keďže kvapka dosiahla medznú rýchlosť, tak musí platiť:

\[\begin{aligned} F_o&=F_G\text,\\ \frac12CS\rho_{\mathrm{vzduch}} v^2&=mg\text,\\ \frac12C\pi r^2\rho_{\mathrm{vzduch}} v^2&=V\rho_{\mathrm{voda}} g\text,\\ \frac12C\pi r^2\rho_{\mathrm{vzduch}} v^2&=\frac43\pi r^3 \rho_{\mathrm{voda}}g\text,\\ \frac12C\rho_{\mathrm{vzduch}}v^2&=\frac43r\rho_{\mathrm{voda}}g\text,\\ v^2&=\frac83\cdot\frac{r\rho_{\mathrm{voda}}g}{C\rho_{\mathrm{vzduch}}}\text,\\ v&=\sqrt{\frac83\cdot\frac{r\rho_{\mathrm{voda}}g}{C\rho_{\mathrm{vzduch}}}}\text,\\ v&=\boxed{2\sqrt{\frac23\cdot\frac{r\rho_{\mathrm{voda}}g}{C\rho_{\mathrm{vzduch}}}}}\text. \end{aligned}\]

Ako už vieme, kvapka je tvaru gule, a preto \(C\approx\num{0.47}\). Hustota vody je \(\rho_{\mathrm{voda}}=\SI{1000}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\), hustota vzduchu \(\rho_{\mathrm{vzduch}}=\SI{1.3}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a gravitačné zrýchlenie \(g\approx\SI{9.81}{\metre\per\second\squared}\). Po dosadení týchto hodnôt dostávame, že

\[v\approx\num{204.57}\sqrt{r}\text,\]

kde po dosadení polomeru \(r\) kvapky v metroch dostaneme jej rýchlosť \(v\) v metroch za sekundu. Vidíme teda, že čím väčší je polomer kvapky, tým väčšia je jej rýchlosť. Terke teda spokojne môžeme povedať, že veľké kvapčiská padajú rýchlejšie ako množstvo malých kvapôčok.