2. Mám chuť na niečo chladené vzorové riešenie

Zo zadania vieme, že môžeme zanedbať mätu, limetku a topinamburový sirup v Marekovom čaji, takže s ním budeme počítať ako s vodou.

Na začiatku si poďme vypočítať objem kocky ľadu a premeňme si všetky jednotky na základné. \[V_l = \SI{3}{\centi\meter} \cdot \SI{3}{\centi\meter} \cdot \SI{3}{\centi\meter} = \SI{27}{\centi\meter\cubed} = \SI{0,000027}{\meter\cubed}\text.\] Objem vody v metroch kubických je: \[V_v = \SI{200}{\milli\litre} = \SI{0,2}{\litre} = \SI{0,2}{\deci\meter\cubed} = \SI{0,0002}{\meter\cubed}\].

Keď hodíme kocku ľadu do vody, tak sa kocka začne otepľovať a voda ochladzovať. Deje sa to kvôli tepelným výmenám medzi kockou ľadu a vodou. Voda, teplejšia látka, odovzdáva svoje teplo kocke ľadu, chladnejšej látke. Keď sa tieto teploty vyrovnajú, nastane tepelná rovnováha. Nie je to však také jednoduché. Ak sa počas tohto procesu ľad oteplí na \(\SI{0}{\celsius}\), začne sa roztápať. A ak by sa zas voda nedajbože ochladila na \(\SI{0}{\celsius}\), začala by zamŕzať.

Rozdelíme si preto tepelné výmeny vody a ľadu na viac častí, aby sa nám lepšie počítalo.

Najskôr si vypočítajme, koľko tepla musí prijať kocka ľadu, aby sa zohriala na \(\SI{0}{\celsius}\). Budeme potrebovať kalorimetrickú rovnicu: \[Q = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1)\text,\] pričom \(Q\) je prijaté teplo, \(m\) je hmotnosť látky, \(c\) je merná tepelná kapacita látky¹, \(t_1\) je teplota na začiatku a \(t_2\) je teplota na konci. Na internete sa dá nájsť, že merná tepelná kapacita vody je \(c_v = \SI{4200}{\joule\per\kilo\gram\per\kelvin}\) a merná tepelná kapacita ľadu je \(c_l = \SI{2100}{\joule\per\kilo\gram\per\kelvin}\).

Aby sme vzorec mohli použiť, potrebujeme zistiť hmotnosť kocky ľadu. Hmotnosť vypočítame ako \(m = \rho \cdot V\), pričom hustota ľadu je \(\rho_l = \SI{917}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\). \[\begin{aligned} m_l &= \rho_l \cdot V_l\text,\\ m_l &= \SI{917}{\kilo\gram\per\metre\cubed} \cdot \SI{0,000027}{\meter\cubed}\text,\\ m_l &= \SI{0,0248}{\kilogram}\text. \end{aligned}\]

Teraz už vieme jednoducho vyrátať, koľko tepla prijme kocka ľadu, keď ju zohrejeme z \(\SI{-18}{\celsius}\) na \(\SI{0}{\celsius}\). \[\begin{aligned} Q_1 &= m_l \cdot c_l \cdot (t_{l2} - t_{l1})\text,\\ Q_1 &= \SI{0,0248}{\kilogram} \cdot \SI{2100}{\joule\per\kilo\gram\per\kelvin} \cdot (\SI{0}{\celsius} - (\SI{-18}{\celsius}))\text,\\ Q_1 &= \SI{937,44}{\joule}\text. \end{aligned}\]

V momente, ako sa kocka ľadu dostane na teplotu \(\SI{0}{\celsius}\), začne sa topiť. Tu začne hrať svoju rolu skupenské teplo topenia.² Na jeho vypočítanie použijeme vzorec \[L_t = l_t \cdot m\text.\]

Do vzorca nám stačí dosadiť hmotnosť kocky ľadu a jej merné skupenské teplo topenia, ktoré je \(l_{tl} = \SI{334000}{\joule\per\kilo\gram}\). \[\begin{aligned} L_t &= l_{tl} \cdot m_l\text,\\ L_t &= \SI{334000}{\joule\per\kilo\gram} \cdot \SI{0,0248}{\kilogram}\text,\\ L_t &= \SI{8283,2}{\joule}\text. \end{aligned}\]

Už vieme, koľko tepla prijala kocka ľadu, keď sa zohriala z \(\SI{-18}{\celsius}\) na \(\SI{0}{\celsius}\) a koľko tepla prijala, keď sa roztopila. Môžeme si to zrátať dokopy, aby sme vedeli celkové teplo, ktoré kocka ľadu prijala na to, aby sa zohriala z \(\SI{-18}{\celsius}\) a roztopila. \[\SI{937,44}{\joule} + \SI{8283,2}{\joule} = \SI{9220,64}{\joule}\text.\]

Teraz potrebujeme zistiť, či má voda skutočne toľko tepelnej energie, aby kocku ľadu oteplila na a následne ju roztopila. To zrátame znova ako \[Q = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1)\text.\]

Tentokrát do vzorca zadáme údaje vody, keď sa bude ochladzovať z \(\SI{10}{\celsius}\) na \(\SI{0}{\celsius}\). Na to musíme vedieť hmotnosť vody. Vieme, že hustota vody je \(\rho_v = \SI{1000}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\), takže jej hmotnosť je \[\begin{aligned} m_v &= \rho_v \cdot V_v\text,\\ m_v &= \SI{1000}{\kilo\gram\per\metre\cubed} \cdot \SI{0,0002}{\meter\cubed}\text,\\ m_v &= \SI{0,2}{\kilogram}\text. \end{aligned}\]

Zvyšok si už dorátame ľahko. \[\begin{aligned} Q_2 &= m_v \cdot c_v \cdot (t_{v2} - t_{v1})\text,\\ Q_2 &= \SI{0,2}{\kilogram} \cdot \SI{4200}{\joule\per\kilo\gram\per\kelvin} \cdot (\SI{0}{\celsius} - \SI{10}{\celsius})\text.\\ Q_2 &= \SI{-8400}{\joule}\text. \end{aligned}\]³

Ako vidíme, voda nedokáže dodať kocke ľadu dostatočne veľa tepla, aby ju celú roztopila. Celý dej prebehne takto: ako Marekov čaj chladne, ľad sa otepľuje na \(\SI{0}{\celsius}\). Potom sa ľad začne topiť, pričom čaj sa stále ochladzuje. Čaj sa ochladí na \(\SI{0}{\celsius}\). Ľad a čaj majú teraz rovnakú teplotu - dosiahli sme rovnovážny stav. Teplota Marekovho čaju sa teda ustáli na \(\SI{0}{\celsius}\) s tým, že ostane nejaká malá časť kocky ľadu neroztopená.