Zadanie
Krtko nedávno zavítal do astronomického observatória. Ďalekohľad nasmeroval na Mars s cieľom pozorovať jeho dva mesiace – Phobos (Strach) a Deimos (Hrôza). Mal to šťastie, že práve v tom momente boli Phobos, Deimos a Mars na jednej priamke. Keďže sa vtedy ešte len po príchode usádzal, nestihol si tento moment patrične vychutnať. Chcel by teda vedieť, ako dlho musí v observatóriu čakať, aby boli všetky tri objekty opäť na jednej priamke, a akú časť svojej trajektórie za ten čas jednotlivé mesiace prejdú.
Predpokladajte, že oba mesiace obiehajú Mars po sústredných kružniciach v jednej rovine. Vzdialenosť Deimosa od Marsu je \(\num{2.5}\)-krát väčšia než vzdialenosť Phobosa a obežná doba Deimosa je \(\num{1.25}\) dňa.
Tieto hodnoty nezodpovedajú úplne presne realite. Žiadne ďalšie údaje nevyhľadávajte!
Pre pohyb planét okolo hviezdy alebo obeh mesiacov okolo planéty, či akýkoľvek gravitačne riadený obeh menších telies okolo hmotného centrálneho telesa platia 3 Keplerove zákony. Pre túto úlohu nás bude zaujímať hlavne ten tretí, ktorý hovorí, že pomer druhej mocniny periódy a tretej mocniny vzdialenosti je pre každú planétu (resp. mesiac) obiehajúcu okolo tej istej hviezdy (resp. planéty) rovnaký. Viac o Keplerových zákonoch sa môžete dočítať napríklad na českej wikipédii1.
Hoci názov úlohy znie strašidelne, nás len tak ľahko niečo nevystraší a s vervou sa pustíme do riešenia.
Označme si polomery orbít Phobosa \(a_{\mathrm P}\) a Deimosa \(a_{\mathrm D}\). Podľa zadania vieme, že \[ a_{\mathrm D}=\num{2.5}a_{\mathrm P}\text{.} \] Ďalej si označme periódy obehov Phobosa \(T_{\mathrm P}\) a Deimosa \(T_{\mathrm D}\). Perióda obehu Deimosa je podľa zadania \(T_{\mathrm D}=\SI{1.25}{\day}\). Začneme tým, že si zistíme periódu obehu Phobosa. Na to použijeme tretí Keplerov zákon, podľa ktorého \(\frac{T_{\mathrm P}^{2}}{a_{\mathrm P}^{3}}=\frac{T_{\mathrm D}^{2}}{a_{\mathrm D}^{3}}\), odkiaľ \[ T_{\mathrm P}=\sqrt{\frac{a_{\mathrm P}}{a_{\mathrm D}}}^{3}T_{\mathrm D}=\sqrt{\frac{a_{\mathrm P}}{\frac{5}{2}a_{\mathrm P}}}^{3}\cdot\SI[quotient-mode=fraction]{5/4}{\day}=\frac{1}{\sqrt{10}}\ \si{\day}\text{.} \] Teraz vypočítajme rýchlosti oboch mesiacov. Zaveďme si uhlovú rýchlosť ako uhol, ktorý opíše mesiac za jednotku času. Vieme, že Phobos spraví jeden obeh za čas \(T_{\mathrm P}\), takže jeho uhlová rýchlosť bude \[ \omega_{\mathrm P}=\frac{\ang{360}}{T_{\mathrm P}}\text{.} \] Analogicky uhlová rýchlosť Deimosa bude \[ \omega_{\mathrm D}=\frac{\ang{360}}{T_{\mathrm D}}\text{.} \]
[@P]{konštelácia}{pdf}{png}{80mm}{Dve po sebe nasledujúce konštelácie Marsu a jeho mesiacov na jednej priamke}{}
Zadanie sa nás pýta na najkratší čas \(\tau\), po uplynutí ktorého budú všetky tri objekty opäť na jednej priamke. Uvedomme si, že sa tak stane v momente, keď jeden mesiac spraví presne o polobehu viac než druhý. Ak teda označíme uhly, ktoré mesiace za čas \(\tau\) opíšu, postupne \(\phi_{\mathrm P}=\omega_{\mathrm P}\tau\) a \(\phi_{\mathrm D}=\omega_{\mathrm D}\tau\), tak s prihliadnutím na to, že Phobos je rýchlejší,1 musí medzi nimi platiť \[ \phi_{\mathrm P}=\phi_{\mathrm D}+\ang{180}\text{.} \] Po dosadení príslušných výrazov do tejto rovnosti dostávame rovnicu \[ \frac{\ang{360}}{T_{\mathrm P}}\tau=\frac{\ang{360}}{T_{\mathrm D}}\tau+\ang{180}\text{,} \] odkiaľ pre hľadaný čas, po ktorom budú všetky objekty znava na jednej priamke, dostávame vyjadrenie \[ \tau=\frac{\ang{180}}{\ang{360}\left(\frac{1}{T_{\mathrm P}}-\frac{1}{T_{\mathrm D}}\right)}=\frac{1}{2\left(\sqrt{10}-\frac{4}{5}\right)}\ \si{\day}\doteq\SI{0.21}{\day}\text{.} \]
Okrem toho od nás zadanie chce aj to, akú časť svojej obežnej dráhy mesiace za tento čas urazia. Keďže sa mesiace pohybujú rovnomerne, tak túto informáciu vieme získať tým, že dáme do pomeru čas, ktorý sa pohybovali, k ich celej perióde, teda \[ \begin{gathered} k_{\mathrm P}=\frac{\tau}{T_{\mathrm P}}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{10}-\frac{8}{5}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{5\sqrt{10}}{10\sqrt{10}-8}\doteq\num{0.67}\text{,}\\ k_{\mathrm D}=\frac{\tau}{T_{\mathrm D}}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{10}-\frac{8}{5}}}{\frac{5}{4}}=\frac{2}{5\sqrt{10}-4}\doteq\num{0.17}\text{.} \end{gathered} \] Zistili sme, že Phobos zatiaľ prejde približne \(\frac{2}{3}\) a Deimos \(\frac{1}{6}\) svojej obežnej dráhy.
\(T_{\mathrm P}<T_{\mathrm D}\implies\omega_{\mathrm P}>\omega_{\mathrm D}\)↩
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.