5. Strach a Hrôza vzorové riešenie

Hoci názov úlohy znie strašidelne, nás len tak ľahko niečo nevystraší a s vervou sa pustíme do riešenia.

Označme si polomery orbít Phobosa \(a_{\mathrm P}\) a Deimosa \(a_{\mathrm D}\). Podľa zadania vieme, že \[ a_{\mathrm D}=\num{2.5}a_{\mathrm P}\text{.} \] Ďalej si označme periódy obehov Phobosa \(T_{\mathrm P}\) a Deimosa \(T_{\mathrm D}\). Perióda obehu Deimosa je podľa zadania \(T_{\mathrm D}=\SI{1.25}{\day}\). Začneme tým, že si zistíme periódu obehu Phobosa. Na to použijeme tretí Keplerov zákon, podľa ktorého \(\frac{T_{\mathrm P}^{2}}{a_{\mathrm P}^{3}}=\frac{T_{\mathrm D}^{2}}{a_{\mathrm D}^{3}}\), odkiaľ \[ T_{\mathrm P}=\sqrt{\frac{a_{\mathrm P}}{a_{\mathrm D}}}^{3}T_{\mathrm D}=\sqrt{\frac{a_{\mathrm P}}{\frac{5}{2}a_{\mathrm P}}}^{3}\cdot\SI[quotient-mode=fraction]{5/4}{\day}=\frac{1}{\sqrt{10}}\ \si{\day}\text{.} \] Teraz vypočítajme rýchlosti oboch mesiacov. Zaveďme si uhlovú rýchlosť ako uhol, ktorý opíše mesiac za jednotku času. Vieme, že Phobos spraví jeden obeh za čas \(T_{\mathrm P}\), takže jeho uhlová rýchlosť bude \[ \omega_{\mathrm P}=\frac{\ang{360}}{T_{\mathrm P}}\text{.} \] Analogicky uhlová rýchlosť Deimosa bude \[ \omega_{\mathrm D}=\frac{\ang{360}}{T_{\mathrm D}}\text{.} \]

[@P]{konštelácia}{pdf}{png}{80mm}{Dve po sebe nasledujúce konštelácie Marsu a jeho mesiacov na jednej priamke}{}

Zadanie sa nás pýta na najkratší čas \(\tau\), po uplynutí ktorého budú všetky tri objekty opäť na jednej priamke. Uvedomme si, že sa tak stane v momente, keď jeden mesiac spraví presne o polobehu viac než druhý. Ak teda označíme uhly, ktoré mesiace za čas \(\tau\) opíšu, postupne \(\phi_{\mathrm P}=\omega_{\mathrm P}\tau\) a \(\phi_{\mathrm D}=\omega_{\mathrm D}\tau\), tak s prihliadnutím na to, že Phobos je rýchlejší,¹ musí medzi nimi platiť \[ \phi_{\mathrm P}=\phi_{\mathrm D}+\ang{180}\text{.} \] Po dosadení príslušných výrazov do tejto rovnosti dostávame rovnicu \[ \frac{\ang{360}}{T_{\mathrm P}}\tau=\frac{\ang{360}}{T_{\mathrm D}}\tau+\ang{180}\text{,} \] odkiaľ pre hľadaný čas, po ktorom budú všetky objekty znava na jednej priamke, dostávame vyjadrenie \[ \tau=\frac{\ang{180}}{\ang{360}\left(\frac{1}{T_{\mathrm P}}-\frac{1}{T_{\mathrm D}}\right)}=\frac{1}{2\left(\sqrt{10}-\frac{4}{5}\right)}\ \si{\day}\doteq\SI{0.21}{\day}\text{.} \]

Okrem toho od nás zadanie chce aj to, akú časť svojej obežnej dráhy mesiace za tento čas urazia. Keďže sa mesiace pohybujú rovnomerne, tak túto informáciu vieme získať tým, že dáme do pomeru čas, ktorý sa pohybovali, k ich celej perióde, teda \[ \begin{gathered} k_{\mathrm P}=\frac{\tau}{T_{\mathrm P}}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{10}-\frac{8}{5}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{5\sqrt{10}}{10\sqrt{10}-8}\doteq\num{0.67}\text{,}\\ k_{\mathrm D}=\frac{\tau}{T_{\mathrm D}}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{10}-\frac{8}{5}}}{\frac{5}{4}}=\frac{2}{5\sqrt{10}-4}\doteq\num{0.17}\text{.} \end{gathered} \] Zistili sme, že Phobos zatiaľ prejde približne \(\frac{2}{3}\) a Deimos \(\frac{1}{6}\) svojej obežnej dráhy.