Zadanie
Vaši UFO vedúci si chceli spraviť spoločnú filmovú noc. Počas jej prípravy však narazili na problém. Nevedeli sa dohodnúť na tom, ako ďaleko musí byť projektor od steny, aby obraz pohodlne videli zo vzdialenosti \(x\). Na krabici si prečítali, že svetlo z projektora vychádza pod uhlom \(\ang{30}\). Aby sa vedúcim film dobre pozeral, mali by obraz vidieť pod zorným uhlom aspoň \(\ang{10}\). Do akej najmenšej vzdialenosti od steny musia dať projektor, aby videli obraz pohodlne a užili si pekný večer?
Predpokladáme, že projektor má dostatočnú svietivosť.
Najprv povedzme, že pohodlne sa pozerá na obraz, ak spojnica vaších očí a stredu obrazu je kolmá na rovinu obrazu. Inými slovami, vaše oči sú vtedy najbližšie ku stredu obrazu spomedzi všetkých bodov obrazu. Uhol, pod ktorým projektor svieti, je uhol medzi „ľavým“ a „pravým“ okrajom svietenia, rovnako ako aj zorný uhol vedúcich. Tí sedia vo vzdialenosti \(x\) od plátna. Môžeme si teda predstaviť situáciu ako dva rovnoramenné trojuholníky s totožnou základňou \(y\) a uhlami pri vrcholoch \(\ang{30}\) a \(\ang{10}\).
Dĺžku polovice základne vypočítame zo vzťahov pre tangens \(\tan\ang{5}=\frac{y}{2x}\), odkiaľ \(y=2x\tan\ang{5}\). Následne potrebujeme nájsť minimálnu vzdialenosť \(z\) projektora k plátnu a znova na to využijeme vzťah pre tangens \(\tan\ang{15}=\frac{y}{2z}\). Vylúčením neznámej veľkosti plátna \(y\) dostaneme minimálnu vzdialenosť projektora \(z\) ako \[z=\frac{\tan\ang{5}}{\tan\ang{15}}x \approx \num{0.3265} x\text{.}\]
Na záver poznamenajme, že tvar gauča taký, aby sa všetci pozerali na plátno pod uhlom \(\ang{10}\), by bol kružnicový oblúk. V skutku autor tento fakt využil pri kreslení (nie rysovaní) obrázku avšak táto kružnica sa však iba s pomocou pravítka a kružidla nedá narysovať, ak máme zadané plátno \(y\) a projektor. Inak by sme mali trisekciu uhla, a to možné nie je. Pre niektoré špeciálne hodnoty by to išlo ako napríklad \(90^\circ\) a \(30^\circ\) avšak pre naše nie.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.