1. Ortuťové jazero vzorové riešenie

Čo si chceme zistiť pred riešením?

Na vyriešenie tejto úlohy potrebujeme niekoľko informácii, ktoré sme v zadaní nedostali. Napríklad by sme si mohli zistiť hustotu ortute, ktorá je približne \(\SI{13530}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a tiež si chceme zistiť priemernú hmotnosť človeka, ktorá je \(\SI{80}{\kilo\gram}\).

Aké sily tu pôsobia?

Človek s hmotnosťou \(m\) pôsobí na ortuť gravitačnou silou rovnou \(F_g=mg\), no ortuť na človeka pôsobí vztlakovou silou, o ktorej nám hovorí Archimedov zákon. Jej veľkosť je \(F_{vz}=V_p \rho_o g\), kde \(V_p\) je objem ponorenej časti telesa, \(\rho_o\) je hustota ortute a \(g\) je gravitačné zrýchlenie. Časom sa človek dostane do rovnovážnej polohy síl, teda gravitaćná sila, ktorou pôsobí na ortuť, je rovná vztlakovej sile. V tomto momente preto platí: \[ \begin {aligned} F_g &= F_{vz},\\ mg &= V_p \rho_o g, \end{aligned} \] odkiaľ \[ V_p = \frac{m g}{\rho_o g} = \frac{m}{\rho_o} = \frac{\SI{80}{\kilo\gram}}{\SI{13530}{\kilo\gram\per\metre\cubed}} = \SI{0.0059}{\meter\cubed} = \SI{5.9}{\litre}. \]

Teraz sme zistili objem ponorenej časti človeka, no ešte nám zostáva zistiť, ako hlboko sme sa ponorili. Podľa hodnoty, ktorá nám vyšla, vieme predpokladať, že sa neponoríme hlbšie ako po kolená. Chodidlo môžeme aproximovať ako kváder a zvyšok nohy ako valec. Na internete sa dá dohľadať priemerná dĺžka chodidla a jej prislúchajúca šírka, z čoho vieme určiť, že prierez chodidla má plochu približne \(\SI{250}{\centi\metre\squared}\). Ďalej vieme odhadnúť, že výška chodidla je \(\SI{5}{\centi\metre}\). Keď sa ďalej pozrieme na plochu prierezu nohy nad chodidlom, ide o kruh s priemerom približne rovnakým, ako je šírka chodidla. Preto prierez nohy nad chodidlom má plochu približne \(\SI{100}{\centi\metre\squared}\). Ak by sme sa oboma nohami zaborili do výšky \(h\) nad chodidlami, vypočítali by sme ponorený objem nôh \(V_n\) ako \[ V_n = 2 \left(\SI{250}{\centi\metre\squared}\cdot\SI{5}{\centi\metre} + \SI{100}{\centi\metre\squared}\cdot h\right). \]

My však ale vieme, že ponorený objem je \(V_p=\SI{5.9}{\litre}=\SI{5900}{\centi\metre\cubed}\), čo vieme do tejto rovnice dosadiť, a vyjadriť z nej výšku \(h\). \[ \begin{aligned} \SI{5900}{\centi\metre\cubed}&=\SI{2500}{\centi\metre\cubed} + \SI{200}{\centi\metre\squared}\cdot h, \\ \SI{5900}{\centi\metre\cubed}-\SI{2500}{\centi\metre\cubed}&=\SI{200}{\centi\metre\squared}\cdot h, \\ h &= \frac{\SI{5900}{\centi\metre\cubed}-\SI{2500}{\centi\metre\cubed}}{\SI{200}{\centi\metre\squared}} = \frac{\SI{3400}{\centi\metre\cubed}}{\SI{200}{\centi\metre\squared}} = \SI{17}{\centi\metre}. \end{aligned} \]

Hodnota \(h\), ktorú sme vypočítali, je však výška ponorenej nohy nad chodidlom a musíme ešte pridať \(\SI{5}{\centi\metre}\), teda výšku chodidla.

Finálny výsledok preto je, že sa do ortute sa zaboríme do hĺbky približne \(\SI{22}{\centi\metre}\).