5. Nabi bo vybito vzorové riešenie

Zadanie

Marek sa ráno zobudil a vydesil sa pozrúc na svoj mobil. \(1\) percento!¹ Našťastie mal ešte hodinu do odchodu, tak ho pripojil na rýchlonabíjačku. Časový priebeh nabíjacieho napätia a prúdu je zobrazený na priloženom grafe. Prvú trištvrtehodinu nabíjačka nabíja pri konštantnom prúde \(\SI{2}{\ampere}\), zatiaľ čo nabíjacie napätie rastie ako² \[u(t) = 4 \cdot \left(1-\left(\frac{4}{3}t\left[\si{\hour}\right]-1\right)^4\right)\,\si{\volt}.\] Následne sa napätie ustáli na \(\SI{4}{\volt}\) a nabíjací prúd začne exponenciálne klesať podľa \[i(t)=2 \cdot \mathrm{e}^{-2.5\left(t\left[\si{\hour}\right]-0.75\right)}\,\si{\ampere}.\]

Zistite:

• aká je kapacita batérie (v );
• akú maximálnu energiu batéria pojme;
• percento nabitia batérie po jednej hodine nabíjania;
• relatívne množstvo uskladnenej energie v batérii po hodine nabíjania k celkovej možnej uskladniteľnej energii.

Pre jednoduchosť predpokladajte, že keď Marek pripojil mobil na nabíjačku, batéria už bola prázdna.

Pri výpočte sa nebojte použiť Excel.

---

1. Nie, že by to nebola každodenná realita…↩︎

2. Zápis \(t\left[\si{\hour}\right]\) znamená, že čas treba dosadzovať v hodinách.↩︎

V prvom bode potrebujeme zistiť, akú má batéria celkovú kapacitu. Kapacita batérie je udávaná v \(\si{\milli\ampere\hour}\), čiže miliampérhodinách, čo teda popisuje, ako dlho a akým silným prúdom nabíjame batériu, kým sa celá nabije, prepočítané na počet hodín nabíjania prúdom \(\SI{1}{\milli\ampere}\).

Aký je fyzikálny zmysel tejto veličiny? Asi viete, že elektrický prúd označuje množstvo elektrického náboja za sekundu (prípadne inak zvolený konštantný časový úsek). Vediac toto, nie je ťažké pojať, že kapacita batérie v zadaní značí veľkosť elektrického náboja, ktorý vie efektívne uskladniť. Pre úplnosť sa patrí spomenúť, že táto kapacita je čosi iné ako elektrická kapacita, s ktorou sa možno stretnúť pri kondenzátoroch. Máme k dispozícii vzťah, ktorý nám hovorí, akým prúdom sa v akom čase batéria nabíjala. Ako je z grafu vidno, ako sa batéria blíži k plnému nabitiu, efektivita nabíjania sa znižuje. Prúd teda pomaly klesá k nule. Po \(\num{4}\) hodinách nabíjania už je takmer nulový, čo hovorí o tom, že batéria dosiahla skoro úplné maximum svojej kapacity a ďalšie nabíjanie môžeme ignorovať, nedopúšťajúc sa veľkej chyby.

Celkovú kapacitu dostaneme tak, že prepočítame prúd počas štyroch hodín nabíjania na potrebnú dĺžku nabíjania prúdom \(\SI{1}{\milli\ampere}\). Počas prvej trištvrtehodiny to bude pomerne jednoduché. Vieme že prúd bol \(\SI{2}{\ampere}\) a čas \(\SI{0,75}{\hour}\), celkovo sa teda batéria nabila o \(\SI{2}{\hour}\cdot \SI{0,75}{\ampere} = \SI{1,5}{\ampere\hour}\). Neskôr to však je zložitejšie, keďže nemáme časový úsek, v ktorom by bol prúd konštantný, a teda nevieme spraviť takýto jednoduchý prepočet. Funkcia, ktorá popisuje správanie sa prúdu v rôznom čase, je pomerne zložitá. Ak ju však zaokrúhlime na úsekoch tak, aby bola konštantná, vieme to jednoducho odhadnúť. Ak zvolíme dostatočne malú veľkosť úseku, v ktorom prehlásime prúd za konštantný, môže nám to stačiť pre zanedbateľnú odchýlku – my sme si zvolili úsek s dĺžkou \(\frac{1}{100}\) hodiny.

Nerátali sme však \(\num{400}\) hodnôt prúdu ručne; takéto výpočty si vieme veľmi zjednodušiť použitím tabuľkového kalkulátora, ako je napríklad Excel alebo Google Sheets. Práve v Google Sheets sme si spravili tabuľku, pozrieť si ju môžete pomocou linku¹.

Každý riadok v tabuľke reprezentuje jeden úsek – \(\frac{1}{100}\) hodiny, a v každom sme si vypočítali jednotlivé hodnoty potrebné pri riešení tejto úlohy. Do prvého stĺpca sme si teda vypočítali prúd v danom momente pomocou zadaného vzorca a odkazu na bunku s časom. Teraz teda predpokladáme, že v každom úseku dĺžky \(\frac{1}{100}\) hodiny je prúd konštantný – taký, ako je napísané v príslušnom riadku. Batéria sa teda za ten úsek nabije o \(\num{0.01}\cdot\mathrm{[prúd\,v\,danom\,úseku]} \si{\ampere\hour}\).

Výsledok sme rovno pričítali k celkovému súčtu predošlých výsledkov a zapísali do ďalšieho stĺpca. Dokopy teda na spodku tabuľky dostaneme celkovú kapacitu batérie - tá nám vyšla \(\SI{2.29}{\ampere\hour}\), čo je \(\SI{2290}{\milli\ampere\hour}\). V treťom stĺpci sme podľa druhého vzorca vypočítali napätie v danom časovom úseku, čo použijeme pri rátaní energie. Jej prírastok vyrátame podľa vzorca \(\Delta E = U\cdot I\cdot \Delta t\) pričom prúd aj napätie poznáme a čas v každom riadku je \(\SI{0,01}{\hour}\), čo je ale v základných jednotkách \(\SI{36}{\second}\). Ak ste sa už s elektrickým napätím niekedy stretli, možno viete, že označuje rozdiel potenciálnej energie náboja medzi dvoma miestami. Prenásobením prúdom (množstvo náboja, ktoré pretečie medzi týmito bodmi za sekundu) a časovým krokom dostaneme vyššie spomenutý vzťah. Tieto hodnoty sme rovno aj sčítali dokopy v ďalšom stĺpci a na spodku nám vyšla celková energia \(\SI{28796}{\joule}\).

Na koľko percent je nabitá batéria po jednej hodine zistíme tak, že vydelíme nabitú kapacitu v čase jednej hodiny maximálnou kapacitou. Podobne, keď poňatú energiu v čase jednej hodiny vydelíme celkovou energiou, dostaneme odpoveď na poslednú otázku. To sme v ďalších stĺpcoch urobili nielen pre čas jednej hodiny, ale aj pre ostatné časové úseky. Výsledky v riadku pre čas jednej hodiny sú približne \(\SI{81,54}{\percent}\) nabitia a \(\SI{78,86}{\percent}\) uchovanej energie.

Zistili sme teda, že celková kapacita batérie je \(\SI{2290}{\milli\ampere\hour}\), batéria pojme dokopy \(\SI{28796}{\joule}\) energie a v čase jednej hodiny od začiatku nabíjania je nabitá na \(\SI{81.54}{\percent}\) a uskladnila \(\SI{78.86}{\percent}\) možnej energie.