Zadanie
Michal bol v noci v New Yorku. New York je špecifický svojou štvorčekovou cestnou sieťou. Tentokrát sa nachádzal v obdĺžnikovej časti. Jeden obdĺžnik je dlhý \(\SI{150}{\metre}\) vo východozápadnom smere a široký \(\SI{75}{\metre}\) v severojužnom smere.
Michal sa potreboval sa dostať na križovatku o ulicu severnejšie a o ulicu východnejšie. Na konci najbližšej, dlhšej východozápadnej ulice je semafor, na ktorom sa auto zdrží v priemere \(\SI{9}{\second}\). Východozápadná ulica o blok severnejšie má na začiatku značku obmedujúcu maximálnu povolenú rýchlosť na \(\SI{20}{mph}\)1. Podľa predpisov platí obmedzenie po najbližšiu križovatku. Kadiaľ vedie najrýchlejšia cesta, ak všetky ostatné križovatky nemajú semafor, Michal nevie v akej fáze je semafor, na ulici nie je v noci žiadna premávka a na všetkých ostatných cestách je maximálna povolená rýchlosť \(\SI{40}{mph}\)?

Bonus za čokoládu: Ako sa zmení váš postup, ak by sme uvážili nasledujúci semafor? Červená trvá \(\SI{40}{\second}\) a zelená \(\SI{20}{\second}\), pričom Michal nevie, v akom stave je semafor na začiatku.
míľ za hodinu↩︎
Začnime tým, že si premeníme míle za hodinu na metre za sekundu, keďže naše vzdialenosti sú v metroch a čas nepresiahne viac ako minútu. \(\SI{1}{mph}\) je \(\SI{0.447}{\metre\per\second}\), teda \(\SI{40}{mph}\) bude \(\SI{17.88}{\metre\per\second}\).

Poďme postupne a rozoberme si najprv prvý prípad. Dráha \(s = \SI{375}{\metre}\) a celý čas ideme rýchlosťou \(\SI{40}{mph}\) čo už vieme, že je \(\SI{17.88}{\metre\per\second}\).
Teraz si rozoberme druhú cestu, ideme \(\SI{75}{\metre}\) rýchlosťou \(\SI{40}{mph}\) a potom ideme \(\SI{150}{\metre}\) rýchlosťou \(\SI{20}{mph}\). Keďže tento úsek ideme dvakrát pomalšie, tak môžeme uvažovať že za rovnaký čas prejdeme dvakrát väčšiu dráhu. Teda môžeme povedať že prejsť druhú cestu nám bude trvať rovnako dlho ako prejsť \(\SI{375}{\metre}\) cesty rýchlosťou \(\SI{40}{mph}\). A tu si môžeme všimnúť že v druhej ceste máme prejsť rovnakú vzdialenosť rovnakou rýchlosťou a preto bude čas cesty rovnaký.
Tretia cesta je dlhá \(\SI{225}{\metre}\) a ešte nás zbrzdí semafor, na ktorom si počkáme \(\SI{9}{\second}\). Teraz si poďme spočítať čas za ktorý prejdeme prvú cestu1 a čas, za ktorý prejdeme tretiu cestu. Použijeme na to základný vzorec pre rovnomerný pohyb \(v=\frac{s}{t}\) z ktorého si vyjadríme čas: \[ \begin{aligned} v &=\frac{s}{t}\qquad/\cdot t\\ v \cdot t &= s\qquad/:v\\ t &= \frac{s}{v} \end{aligned} \]
Teraz si dosaďme do vzorca hodnoty. Keďže poznáme aj \(s\) aj \(v\) tak vypočítať čas bude jednoduché.
Pre 1. a 2. cestu: \[ \begin{aligned} t &= \frac{s}{v}\\ t &= \frac{\SI{375}{\metre}}{\SI{17.88}{\metre\per\second}}\\ t &= \SI{21}{\second} \end{aligned} \]
Pre 3. cestu: \[ \begin{aligned} t &= \frac{s}{v} + \SI{9}{\second}\\ t &= \frac{\SI{225}{\metre}}{\SI{17.88}{\metre\per\second}} + \SI{9}{\second}\\ t &= \SI{12.6}{\second} + \SI{9}{\second}\\ t &= \SI{21.6}{\second} \end{aligned} \]
Najrýchlejšie sú teda cesty 1 a 2, no ich využitím v priemere ušetríme iba \(\SI{0.6}{\second}\). V niektorých prípadoch keď chytíme dobrý semafor tak je cesta cezeň výhodnejšia, no tento risk sa nie vždy vyplatí.
Bonus za čokoládu: V bonuse nestačilo skonštatovať, že keďže cesta cez semafor je už teraz najdlhšia, tak keď predĺžime priemerné státie na semafore, tak to stále bude pomalšia cesta. Očakávali sme od Vás podrobnejšiu analýzu prípadu tohto semaforu.
Prvá vec, čo si vypočítame, je ako dlho mu budú trvať krajné prípady cesty. Keby trafil presne zelenú a vôbec nestál na červenej, tak mu cesta trvá \(\SI{12.6}{\second}\). Ak by prišiel na križovatku presne v momente, kedy zasvieti červená, tak by mu táto cesta trvala \(\SI{52.6}{\second}\), čo je o dosť viac ako akákoľvek iná cesta. Teda prejsť túto cestu mu v priemere trvá \(\SI{32.6}{\second}\), čo je viac ako všetky cesty z pôvodnej úlohy. Kedy by sa Michalovi oplatilo ísť touto cestou? Rýchlejšie by touto cestou prešiel, len ak by stihol prísť niekedy počas \(\SI{20}{\second}\) zelenej, a teda nestál na semafore, alebo niekedy počas posledných \(\SI{8.4}{\second}\) červenej, keďže \(\SI{8.4}{\second}\) je čas, ktorý ušetrí oproti 1. a 2. ceste ak trafí zelenú a teda je to aj čas, ktorý sa môže maximálne zdržať státím na semafore. No s akou pravdepodobnosťou môže stihnúť tieto časy? Celý jeden cyklus semaforu trvá \(\SI{60}{\second}\) a v každom cykle semafora je presne \(\SI{28.4}{\second}\), počas ktorých sa nám oplatí prejsť touto cestou. Teda Michal má šancu \(28.4:60\), teda \(\frac{284}{600} = \frac{71}{150} = \SI{47.3}{\percent}\), že ak sa vydá touto cestou, tak trafí semafor v správnom čase. Michal má teda menej ako polovičnú šancu na to, že táto cesta pre neho bude rýchlejšia ako ostatné. S takouto pravdepodobnosťou by sa stále mal držať ciest 1 a 2 zo zadania.
a zároveň druhú↩︎
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.