2. Odporná postupnosť vzorové riešenie

Na začiatok sa zamyslime nad tým, čo predstavuje pojem dĺžkový odpor. Ak máme kábel z nejakého materiálu, tak pretekajúcemu prúdu tento materiál kladie nejaký odpor. Preto čím dlhší je kábel, tým väčší odpor kladie tento kábel pretekajúcemu prúdu. Veličina dĺžkový odpor nám popisuje, aký odpor pretekajúcemu prúdu kladie tento kábel na každý jeden meter svojej dĺžky. To ale znamená, že ak máme päťmetrový kábel, tak pretekajúcemu prúdu kladie päťkrát väčší odpor ako kábel dlhý meter.

Aký odpor kladú pretekajúcemu prúdu Krtkove káble?

Keďže dĺžkový odpor Krtkovho kábla je \(\SI{1}{\ohm\per\meter}\), každý meter jeho kábla kladie prúdu odpor \(\SI{1}{\ohm}\). Krtko si svoje káble rozstrihal na kúsky dlhé \(1,2,3,\dots,n\) metrov, čiže tieto kúsky budú pretekajúcemu prúdu klásť odpor postupne \(1,2,3,\dots,n\) ohmov. To si ale vieme predstaviť aj tak, že namiesto káblov s odporom \(1,2,3,\dots,n\) ohmov máme rezistory s rovnakými hodnotami odporu, ktoré sú dokonale vodivými drôtmi prepojené s bodom A aj bodom B, čo môžeme vidieť na nasledujúcom obrázku:

Čo s tým teraz?

Máme už predstavu, ako vyzerá Krtkov obvod, pričom v ňom máme zapojené iba rezistory, a chceme zistiť celkový odpor. ¹ Bystrým okom fyzika si môžeme všimnúť, že náš obvod nie je nič iné ako paralelné zapojenie \(n\) rezistorov v \(n\) vetvách. Na výpočet celkového odporu v paralelnom zapojení s \(n\) vetvami však poznáme nasledovný vzorec: \[ \frac1R=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3}+\cdots+\frac1{R_n}\text, \] kde \(R\) je celkový odpor obvodu a \(R_1,R_2,R_3,\dots,R_n\) sú odpory jednotlivých vetiev. Zo zadania máme podmienku \(R\geq\frac1\pi\). To ale vieme prepísať na \(\frac1R\leq\pi\). Potom ale musí na základe vyššie uvedeného vzorca platiť: \[ \frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3}+\cdots+\frac1{R_n}\leq\pi\text. \] Teraz už len zostáva dosadiť jednotlivé hodnoty odporov, o ktorých vieme, že sú postupne \(1,2,3,\dots,n\) ohmov: \[ \frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n\leq\pi\text. \] Pozrime sa na približné hodnoty ľavej strany² pre prvých niekoľko \(n\):

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
ľavá s.\(\,\doteq\)	\(\num{1}\)	\(\num{1.5}\)	\(\num{1.83}\)	\(\num{2.08}\)	\(\num{2.28}\)	\(\num{2.45}\)	\(\num{2.59}\)	\(\num{2.72}\)	\(\num{2.83}\)	\(\num{2.93}\)	\(\num{3.02}\)	\(\num{3.10}\)	\(\num{3.18}\)

Vidíme, že najväčšie \(n\), pre ktoré je ľavá strana najviac \(\pi\), je číslo \(12\). Pre čísla väčšie ako trinásť bude hodnota ľavej strany určite väčšia ako \(\num{3.18}\), lebo k už hotovému súčtu prevrátených hodnôt čísel 1 až 13 pripočítame ďalšie čísla.

Bonus za čokoládu

Predstavme si, že by Krtko mal ešte jeden rovnako dlhý kábel ako na začiatku a tiež by ho rozstrihal na kúsky dĺžky \(1,2,3,\dots,n\) metrov. Keď potom zoberie najkratší z pôvodných káblov (ktorý má dĺžku \(1\) meter) a najdlhší z týchto nových káblov (ktorý má dĺžku \(n\) metrov), zistíme, že majú dokopy dĺžku \(n+1\) metrov. Ak by tento postup zopakoval, najkratší z pôvodných káblov s dĺžkou \(2\) metre a najdlhší z nových káblov s dĺžkou \(n-1\) metrov dajú dokopy opäť \(n+1\) metrov. Takto vieme pokračovať až dovtedy, kým káble rozdelíme do \(n\) dvojíc, pričom káble v každej dvojici majú dokopy dĺžku \(n+1\) metrov. Celková dĺžka všetkých káblov je preto \(n(n+1)\). Keďže sme si ale pridali ešte jeden pomocný kábel s rovnakou dĺžkou, akú mal kábel pôvodný, bude dĺžka pôvodného kábla polovica, čiže \(\frac12n(n+1)\). Pre \(n=12\) vychádza dĺžka kábla \(\num{78}\) metrov.

---

1. Ak ste sa ešte elektrine v škole nevenovali a s takýmto typom úloh ste sa nestretli, odporúčame vám pozrieť si našu UFOčebnicu.↩︎

2. táto hodnota sa nazýva \(n\)-té harmonické číslo a označuje sa \(H_n\)↩︎