4. Jablko nepadá ďaleko od stromu vzorové riešenie

Zvážme možnosť, že by Kubo na strom liezol. Ťažisko človeka je v stoji väčšinou vo výške jeho brucha - pre \(\SI{1.80}{\meter}\) vysokého priemerného človeka by to mohlo byť vo výške okolo \(\SI{1}{\meter}\). Kubo potrebuje, aby natiahnutou rukou, ktorá prečnieva tak \(\SI{50}{\centi\meter}\) nad hlavu, dosiahol na jablko. Keďže samotný vrch Kubovej hlavy je ešte \(\SI{80}{\centi\meter}\) nad jeho ťažiskom, potrebuje svoje ťažisko premiestniť z výšky 1 metra, do výšky \(\SI{4}{\meter} - \SI{0.5}{\meter} - \SI{0.8}{\meter} = \SI{2.7}{\meter}\).

Rozdiel vo výške, \(\Delta h\), je teda \(\SI{1.7}{\meter}\). Energia, ktorú je teoreticky nutné dodať na túto zmenu výšky, je \(m \cdot g\cdot \Delta h\), kde \(m\) je Kubova hmotnosť a \(g\) je gravitačné zrýchlenie. To bude potrebná energia pri lezení za jablkom.

V situácii, keď hádžeme do jablka kameň, ho hádžeme pod uhlom okolo \(\num{60}\) stupňov, nakoľko tak sa nám dobre mieri na cieľ nad nami. Ak by sme mierili pod omnoho väčším uhlom, ak mierime zle, kameň by mohol spadnúť späť na nás, čomu sa chceme vyhnúť.

Ak sa budeme spoliehať len na horizontálnu zložku rýchlosti, že zhodí jablko, potom nám stačí dohodiť kameň do výšky jablka. Ako efektívnu výšku hodu, kde je kameň vypustený z ruky, si zoberme \(\SI{2.15}{\metre}\) (výška dlane natiahnutej ruky zdvihnutej nad hlavou pod uhlom \(\ang{60}\)). To reprezentuje typ hodu, kde mám ruku dosť pokrčenú a počas hodu ju vystriem.

Potrebujeme teda s pomocou energie vertikálnej rýchlosti, \(E_y = \frac{1}{2}m \cdot v_y^2\), pomôcť kameňu prekonať vertikálny rozdiel \(\SI{4}{\meter} - \SI{2.15}{\meter} = \SI{1.85}{\meter}\). Vertikálnu rýchlosť vyjadríme ako časť celkovej rýchlosti, \(v_y = v_{\mathrm{celková}} \cdot \sin(60^\circ)\).

Spravíme si rovnicu, \(E_y = E_h\), teda \[ \frac{1}{2}m \cdot v_{\mathrm{celková}}^2 \cdot \sin^2\left(\ang{60}\right) = m_{\mathrm{kameň}} \cdot g \cdot \SI{1.85}{\meter} \] z čoho zistíme, že \[ E_{\mathrm{celková}} = \frac{m_{\mathrm{kameň}} \cdot g \cdot \SI{1.85}{\metre}}{\sin^2\left(\ang{60}\right)}. \] (\(E_h\) je energia potrebná na vyhodenie jablka o \(h\) metrov vyššie.)

Odhadnime hmotnosť dostatočne ťažkého kameňa na \(\SI{50}{\gram} = \SI{0.05}{\kilo\gram}\). Do celkovej hmotnosti by sme tiež mali zarátať aj hmotnosť ruky, ktorou kameň hádžeme, nakoľko aspoň niektoré jej časti (iba niektoré, kvôli tomu, ako vyzerá pohyb, ktorým niečo hádžeme) musia zrýchliť na rovnakú rýchlosť, ako kameň, ktorý je vypustený z dlane. Ako horný odhad použime hmotnosť celej ruky. Priemerná ruka(od ramena) má podľa známych meraní¹ hmotnosť tak \(\SI{5}{\percent}\) z hmotnosti človeka. Keď si to porovnáme s hmotnosťou kameňa, zistíme, že hmotnosť kameňa je zanedbateľná a tak ju pre zjednodušenie vynecháme.

Vzorček pre samotný hod tak vyzerá nasledovne: \[ E_{\mathrm{1}} = \frac{\num{0.05} m_{\mathrm{Kubo}} \cdot g \cdot \SI{1.85}{\metre}}{\sin^2\left(\ang{60}\right)}. \]

Ešte však netreba zabúdať, že pre každý hod sa najprv musíme zohnúť po kameň. Ak máme iba jeden, budeme si poň musieť aj chodiť, čo nevieme ľahko vyčísliť pomocou energií, takže to zanedbáme. Ideálne však máme na zemi kameňov viac. Po kameň sa zohneme drepom² pričom naše ťažisko klesne na úroveň okolo \(\SI{50}{\centi\metre}\) nad zemou. Keď budeme vstávať, musí sa naše ťažisko zase zdvihnúť o rozdiel od normálnej polohy, ktorá je, ako bolo spomenuté, \(\SI{1}{\metre}\) nad zemou. Rozdiel vo výške je teda \(\SI{0.5}{\metre}\). Toto vyžaduje pre jeden hod energiu \[ E_{\mathrm{2}} = m_{\mathrm{Kubo}} \cdot g \cdot \SI{0.5}{\metre}. \]

Potom ešte zdvíhame samotnú ruku k hodu(s kameňom, ktorý znova zanedbáme), pričom jej ťažisko zdvihneme niekde na úroveň vrchu hlavy(\(\SI{1.8}{\metre}\)). Prirodzená poloha tohto ťažiska je niekde na úrovni spodnej hranice hrudníka, pri našom priemernom človeku približne \(\SI{1.3}{\metre}\) nad zemou. Toto zase vyžaduje každý raz energiu \[ E_{\mathrm{3}} = 0.05 m_{\mathrm{Kubo}} \cdot g \cdot \SI{0.5}{\metre} \]

Energia potrebná pre celý proces hádzania bude teda \[ E_{\mathrm{1}} + E_{\mathrm{2}} + E_{\mathrm{3}}. \]

Vyčíslime oba vzorce. Energia potrebná na lezenie na strom nám vyjde skoro presne \(\SI{1000}{\joule}\). Energia potrebná na jeden hod bude \(\SI{382}{\joule}\), v tomto zložení: \[\begin{align*} E_{\mathrm{1}} &= \SI{73}{\joule}.\\ E_{\mathrm{2}} &= \SI{294}{\joule}.\\ E_{\mathrm{3}} &= \SI{15}{\joule}. \end{align*}\]

Vyšlo nám, že házdať tri a viac krát nás bude stáť väčšiu energiu, než liezť na strom. To však zase ignorujeme, že liezť na strom nie je také ľahké (a energeticky nenáročné) ako liezť, povedzme, na tak isto vysoký rebrík.