Zadanie

Marcel si po rannom behu dal zaslúženú sprchu. Vošiel do vnútra, chytil hlavicu sprchy a pustil vodu. Ako sa tak sprchoval, začal rozmýšľať, aký workout si dá poobede, aby ostal vo forme. Jeho nadmerné zamyslenie spôsobilo, že spustil ruku dole aj s hlavicou, ktorá zrazu smerovala kolmo na zem. Prúd vody bol však tak silný, že hlavicu trochu nadvihol. Aký musel byť objemový prietok vody z trysiek v hlavici, aby sa hlavica vychýlila o \(\SI{8}{\centi\metre}\) zo zvislého smeru, ak Marcel držal sprchu za hadicu \(\SI{20}{\centi\metre}\) nad hlavicou? Prierez hadice je \(\SI{1}{\centi\metre\squared}\) a hlavica pozostáva zo 100 malých trysiek, každá s prierezom otvoru \(\SI{1}{\milli\metre\squared}\). Hmotnosť hlavice je \(\SI{100}{\gram}\) a voda z nej streka jedným smerom kolmo na os hadice.

To, ako ďaleko od zvislého smeru nám prúd vychýli hlavicu, zjavne závisí od toho, aký je silný (a teda, akou silou musí pôsobiť hlavica na vodu, aby ju usmernila do trysiek). Označme si teda túto silu \(\vec{F}\). Potom ale vďaka Newtonovmu zákonu akcie a reakcie musí z rovnakého pôsobiska pôsobiť aj reakčná sila \(\vec{F'}\), ktorá má rovnakú veľkosť, ale opačný smer ako sila pôvodná. Môžeme si uvedomiť, že táto sila pôsobí na hlavicu a zapríčiňuje jej vychýlenie zo zvislého smeru. Bolo by teda fajn zistiť, aká musí byť, aby sa nám hlavica vychýlila o \(\SI{8}{\centi\metre}\) zo zvislého smeru. Poďme na to.

Pôsobiace sily v sústave
Pôsobiace sily v sústave

Existujú dve metódy zistenia veľkosti \(\vec{F'}\). Marcel drží hadicu \(\SI{20}{\centi\metre}\) nad hlavicou a rukou nehýbe, teda toto miesto môžeme považovať za pevný bod našej sústavy. To ale znamená, že hlavica sa zo zvislého smeru vychýli otáčaním okolo tohoto pevného bodu. Toto pozorovanie nás môže naviesť k myšlienke, že hlavica je páka, Marcelova ruka je stred otáčania, a teda jednou metódou je pohrať s momentami síl. Druhou metódou je rozložiť gravitačnú silu na zložky tak, aby jedna sila išla v smere hadice, a teda neovplyvňovala otáčanie.

Hlavica ako páka

Na hlavicu nám pôsobia dve sily1, ktoré sa ju otáčaním snažia vychýliť z rovnováhy, a to gravitačná sila \(\vec{F_g}\) a reakčná sila k sile vytekajúcej vody \(\vec{F'}\). Na to, aby sa nám otáčavé účinky síl vyrovnali a hlavica ostala v rovnováhe, musia sa momenty jednotlivých síl nasčítať do nuly.

Poďme si osviežiť, ako moment sily vypočítame. Ak sila s veľkosťou \(F\) pôsobí v kolmej vzdialenosti \(r\) od osi otáčania (táto vzdialenosť sa nazýva aj rameno sily), jej moment určíme ako súčin \(r\cdot F\). Čo sa týka znamienka, ak táto sila spôsobuje otáčanie v smere hodinových ručičiek, znamienko momentu je mínus, v opačnom prípade je moment kladný. Pozrime sa najskôr na moment reakčnej sily \(\vec{F'}\). Keďže táto sila pôsobí na konci hlavice a je kolmá na hlavicu, jej kolmá vzdialenosť od stredu otáčania (Marcelovej ruky) je \(\SI{20}{\centi\metre}=\SI{0.2}{\metre}\). Z obrázku vidíme, že jej účinkom sa hlavica otáča v smere hodinových ručičiek. Jej moment je preto \(M_r=-\SI{0.2}{\metre}\cdot F'\). Čo sa týka momentu gravitačnej sily, treba si uvedomiť, že hľadáme kolmú vzdialenosť sily od stredu otáčania, a teda rameno gravitačnej sily nie je \(\SI{20}{\centi\metre}\). Hmotnosť hadice je zanedbateľná v porovnaní s hmotnosťou hlavice, a preto má gravitačná sila \(F_g\) pôsobisko približne v ťažisku hlavice. Rameno \(r_g\) preto musí byť rovné výchylke hlavice zo zvislého smeru, čiže \(\SI{8}{\centi\metre}=\SI{0.08}{\metre}\). Veľkosť gravitačnej sily určíme ako súčin \(mg=\SI{0.1}{\kilo\gram}\cdot\SI{10}{\newton\per\kilo\gram}=\SI{1}{\newton}\). Gravitačná sila sa pokúša hlavicu vychýliť proti smeru hodinových ručičiek, a preto znamienko momentu musí byť kladné. Potom je jej moment \(M_g=r_g F_g=\SI{0.08}{\metre}\cdot\SI{1}{\newton}\doteq\SI{0.08}{\newton\metre}\). Ak však chceme, aby bola hlavica v rovnováhe, musí platiť, že súčet momentov je rovný nule. Preto \[ \begin{aligned} M_g+M_r&=0\text,\\ \SI{0.08}{\newton\metre}-\SI{0.2}{\metre}\cdot F' &=0\text,\\ \SI{0.08}{\newton\metre}&=\SI{0.2}{\metre}\cdot F'\text,\\ F'&=\SI{0.4}{\newton}\text. \end{aligned} \]

Rozklad gravitačnej sily

Všimnime si, že gravitačnú silu \(\vec{F_g}\) vieme rozložiť na sily \(\vec{F_1}\) a \(\vec{F_2}\). Sila \(\vec{F_2}\) ide v smere hadice, čo ale znamená, že neovplyvňuje otáčanie, čiže nás trápi iba sila \(\vec{F_1}\).
Rozložená gravitačná sila a vyznačené podobné trojuholníky.
Rozložená gravitačná sila a vyznačené podobné trojuholníky.

Vyfarbené dva pravouhlé trojuholníky sú podobné (skúste si rozmyslieť, prečo). Potom ale pomer priľahlej odvesny k prepone musí byť v oboch rovnaký. Z toho dostávame \(\frac{8}{20}=\frac{F_1}{F_g}\), čiže \(F_1=\frac{2}{5}F_g\). Aby sa sprcha netočila a bola v rovnováhe, musí platiť \(|\vec{F'}|=|\vec{F_1}|\), čo znamená, že \(F'=\frac25 mg=\frac25\cdot\SI{0.1}{\kilo\gram}\cdot\SI{10}{\newton\per\kilo\gram}=\SI{0.4}{\newton}\), pričom vidíme, že sme dostali rovnaký výsledok, ako keby sme išli cez páku.

Späť k vode

Máme zistiť, aký má byť objemový prietok vody, a preto by bolo fajn posvietiť si na to, čo to ten objemový prietok je. Objemový prietok \(Q\) určuje, aký objem vody pretečie nejakým miestom za určitý čas (povedzme 1 sekundu). Platí teda \(Q=\frac{\Delta V}{\Delta t}\). Poznáme však aj iný vzťah na určenie objemového prietoku - tzv. rovnicu kontinuity, podľa ktorej \(Q=Sv\), kde \(S\) je plocha prierezu potrubia alebo otvoru, ktorým voda preteká a \(v\) je jej rýchlosť v tomto mieste. Povieme si aj, prečo táto rovnica platí. Keďže rýchlosť vody je \(v\), za čas \(\Delta t\) prekoná voda dráhu \(v\Delta t\). Potom ale objem, ktorý prierezom \(S\) prejde za čas \(\Delta t\) je rovný objemu valca s podstavou \(S\) a výškou \(v\Delta t\). To ale znamená, že \(Q=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{Sv\Delta t}{\Delta t}=Sv\).
Objemový prietok v trubici
Objemový prietok v trubici

My prierezy otvorov trysiek poznáme, chýba nám však rýchlosť vody. Je teda načase nejako využiť silu, ktorú sme vypočítali v predošlom odstavci.

Keďže \(F'\) je reakčná sila k sile \(F\), vieme, že majú rovnakú veľkosť, a teda \(F=\SI{0.4}{\newton}\). Sila je definovaná ako zmena hybnosti za zmenu času, teda \(F=\frac{\Delta p}{\Delta t}\). Ďalej hybnosť je určená ako súčin hmotnosti a rýchlosti. Keďže ale voda vyteká z hlavice stále rovnakou rýchlosťou, tak zmena hybnosti je súčinom rýchlosti a hmotnosti vody, ktorá za čas \(\Delta t\) prierezom pretečie, čiže \(\Delta p=\Delta m\cdot v\). No a nakoniec hmotnosť je súčinom hustoty a objemu, pričom hustota vody je stála, čiže \(\Delta m=\rho\Delta V\). Preto môžeme písať:

\[F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{\Delta mv}{\Delta t}=\frac{\rho\Delta Vv}{\Delta t}=\rho\frac{\Delta V}{\Delta t}v=\rho Qv\text.\]

Opäť nám tu vystupujú dve veličiny, ktoré nepoznáme, a to \(Q\) a \(v\). Vyjadrime si teda z oboch rovníc rýchlosť. Dostaneme

\[ \begin{aligned} v&=\frac{Q}{S}\text,\\ v&=\frac{F}{\rho Q}\text. \end{aligned} \]

Rýchlosť je však len jedna, a preto pravé strany oboch rovníc môžeme porovnať, z čoho dostaneme

\[ \begin{aligned} \frac{Q}{S}&=\frac{F}{\rho Q}\text,\\ Q^2&=\frac{FS}{\rho}\text,\\ Q&=\sqrt{\frac{FS}{\rho}}\text. \end{aligned} \]

Uvedomme si, že sme sa pozerali na rýchlosť vody v tryskách, nie v hadici, a preto musíme použiť celkový prierez trysiek, nie hadice. Ten je \(S=100\cdot\SI{1}{\milli\metre\squared}=\SI{1}{\centi\metre\squared}=\SI{0.0001}{\metre\squared}\). Potom už ale vieme vypočítať prietok ako

\[Q=\sqrt{\frac{FS}{\rho}}=\sqrt{\frac{\SI{0.4}{\newton}\cdot\SI{0.0001}{\metre\squared}}{\SI{1000}{\kilo\gram\per\metre\cubed}}}=\SI{0.0002}{\metre\cubed\per\second}=\SI{200}{\milli\litre\per\second}\text.\]


  1. Pre úplnosť ešte dodáme, že na hlavicu pôsobia ďalšie dve sily, ktoré ale nemajú vplyv na jej otáčanie, keďže obe pôsobia v smere jej vychýlenia. Prvou je ťahová sila hadice, ktorá zabezpečuje, že hlavica sa na hadici udrží a nespadne dole. Keďže voda pred opustením hlavice mení naráža na jej koniec a mení smer, musí zabrzdiť, a teda druhou silou je reakčná sila k sile brzdiacej prúd vody.↩︎

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.