3. Nesvieti, svieti, nesvieti, ...nesvieti?! vzorové riešenie

Zadanie

Popri všetkých povinnostiach, ktoré Krtko má, sa rozhodol, že si zariadi svoj krtinec. Chcel by si v ňom zaviesť osvetlenie, s ktorým by bol konečne spokojný. Jeho najväčšie želanie je mať žiarovku so štyrmi vypínačmi, pričom keď stlačí ľubovolný z vypínačov, tak sa zmení stav žiarovky¹ (ak bola zapnutá, tak sa vypne a ak vypnutá, tak sa zapne). Aby však takéto osvetlenie mohol mať, musel si ho namontovať. Keďže Krtko nevedel ako na to, podľahol temnotám internetu a našiel pomerne jednoducho vyzerajúci manuál. Tento manuál mu radil, ako by žiarovku mal zapojiť, aby fungovala podľa jeho predstáv.

Krtko sa potešil a dal sa do roboty. Po pár hodinách práce so zapájaním si konečne mohol vychutnať svoje nové krásne osvetlenie. Avšak, stalo sa niečo, čo naozaj nečakal. Zapojenie podľa manuálu nefungovalo tak, ako chcel. Teraz smutne sedí vo svojom krtinci a rozmýšľa, prečo manuál z internetu nefunguje. Rozveseľte Krtka a pokúste sa mu vysvetliť, prečo zapojenie z obrázka nefunguje podľa jeho predstáv.

Bonus za čokoládu: Navrhnite Krtkovi, ako obvod vylepšiť tak, aby fungoval podľa jeho predstáv a jeho funkčnosť zdôvodnite.

---

1. Pre lepšiu predstavu si pozrite úlohu zo starších ročníkov s dvoma vypínačmi https://ufo.fks.sk/ulohy/zadania/1412/↩︎

Ako si môžeme všimnúť, obvod zo zadania je inšpirovaný “schodišťákmi“ z nedávnej úlohy.¹ V Krtkovom obvode máme sériovo (tzn. za sebou) zapojené dve sady schodišťákov. To môže navodiť dojem, že budú fungovať rovnako dobre. Ba dokonca aj na youtube sa dá nájsť video², kde si autor takýto obvod vytvoril a vyzerá, že funguje. Neverte však všetkému, na čo na internete narazíte. My si teraz vysvetlíme, prečo Krtkov obvod nefunguje tak, ako by skutočne mal, a ako človek vo videu vedel, ktoré prepínače stláčať, aby navodil dojem, že to funguje.

Predstavme si, že jednu sadu schodišťákov máme v spodnej časti schodišťa a druhú vo vrchnej (je to tak aj celkom výhodné, lebo sa tak naťahá menej káblov). Ďalej si predstavme, že sme na vrchu schodišťa a chceme zasvietiť svetlo, ale nechce sa nám chodiť na spodok schodiska. Ak spodnými schodišťákmi prechádza prúd, tak keďže s nimi nebudeme manipulovať, správajú sa ako vodič. Pre nás to v podstate znamená, že Krtkov obvod sa správa ako jednoduché schodišťáky, a teda v tomto prípade naozaj funguje. Problém nastáva, keď sú dolné schodišťáky nastavené tak, že nimi neprechádza prúd. Keďže sme sa rozhodli s nimi nemanipulovať, prúd nimi prechádzať nebude, a teda nebude splnená podmienka uzavretosti obvodu. Ak teda spodnými schodišťákmi neprechádza prúd, môžeme sa aj pokrájať, ale zhora žiarovku nezapneme.

Všimnime si, že v Krtkovom obvode v rozpoložení, v akom sa nachádza v zadaní, žiarovka nesvieti, pretože obvod nie je uzavretý. Keby sme prepli prepínač najviac vľavo, obvod by stále ostal neuzavretý a žiarovka by sa teda nerozsvietila. No a keď si dôslednejšie pozriete spomínané video, tak si všimnete, že vždy, keď jeho autor prepínal prepínač z jednej sady schodišťákov, tak prepínače v druhej sade boli nastavené tak, že nimi prúd prechádzal. Možno to bola náhoda, skôr to však vyzerá tak, že nevedel obvod so štyrmi žiarovkami vytvoriť, a tak navodil ilúziu, že to funguje - tým, že cielene prepínal vhodné prepínače. Keby sme sa nad tým poriadne nezamysleli, pravdepodobne by sme mu to aj mohli uveriť. Dávajte si preto pozor na to, čo vám niekto chce nahovoriť a radšej si to vždy poriadne overte.

Stačilo ku kritickému mysleniu, teraz ideme vytvoriť fungujúci obvod. Tu treba spomenúť tzv. „krížový prepínač“. Má dva vstupy, dva výstupy a dve polohy. Prvý vstup vedie do jedného z výstupov a druhý do toho zvyšného. Prepnutím prepínača si vstupy na kríž „vymenia“ výstupy.

Ukážeme, že keď zapojíme za sebou zaradom prepínač, 2 krížové prepínače a prepínač (ako na obrázku), bude obvod fungovať presne tak, ako by sme chceli.

Uvedomme si, že ak oba okrajové prepínače vedú na rovnaký vodič, musí byť párny počet krížových prepínačov v prekríženej polohe, a ak vedú na rôzne vodiče, musí byť nepárny počet krížových prepínačov v prekríženej polohe. Ak teda prepneme jeden z okrajových prepínačov, tak sa zmení podmienka parity na tú druhú, čo ale znamená, že žiarovka svieti práve v jednom z týchto dvoch prípadov (buď pred stlačením prepínača alebo po ňom). Ak prepneme jeden z krížových prepínačov, podmienka parity ostane nezmenená, ale parita sa zmení, čo opäť znamená, že stav žiarovky sa prepol na opačný. Tým je dokázaná funkčnosť tohoto obvodu. Podotknime ešte, že rovnaká úvaha sa dá použiť na ľubovoľný počet požadovaných prepínačov \(\geq2\).