Zadanie

Po rekreačnej prechádzke vonku si Jaro chcel ísť poriadne umyť ruky. Otočil kohútikom tak, aby bola studená a teplá voda v pomere \(3:1\). Poumýval si ruky mydlom a chcel vodu zastaviť. Kohútik sa mu však pokazil a voda vytekala nepretržitým prúdom rýchlosťou \(\SI{2}{\centi\metre\per\second}\), pričom výtok má tvar štovrca s hranou \(\SI{5}{\centi\metre}\). Jaro sa nenechal rozhodiť a snažil sa kohútik opraviť. Popritom mu napadla zaujímavá otázka. Akou rýchlosťou prúdi voda v rúre privádzajúcej studenú vodu a akou rýchlosťou v rúre privádzajúcej teplú vodu, ak vieme, že obidve rúrky majú kruhový prierez s polomerom \(\SI{1}{\deci\metre}\)?

Jaro býva v bungalove, a preto môžete predpokladať, že všetky rúry sa nachádzajú v rovnakej výškovej úrovni.

Na začiatok si premeňme zadané jednotky na základné.

\[v_k = \SI{2}{\centi\metre\per\second} = \SI{0.02}{\metre\per\second}\]

\[a = \SI{5}{\centi\metre} = \SI{0.05}{\metre}\]

\[r = \SI{1}{\deci\metre} = \SI{0.1}{\metre}\]

Keďže chceme zistiť rýchlosti teplej a studenej vody v rúrkach, ktoré napájajú kohútik, tak poznáme vzorček, ktorý nám pomôže tieto rýchlosti vypočítať. Takýto vzorec sa volá rovnica kontinuity a vyzerá takto:

\[S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2\]

Tento vzorec platí, pretože vieme, že voda je nestlačiteľná kvapalina a tečie nepretržitým prúdom. Tým pádom, ak máme niekde väčší obsah v priereze, tak tam voda potečie pomalšie a ak máme niekde menší obsah v priereze, tak tam voda potečie rýchlejšie.

Najskôr sa poďme pozrieť na tok v kohútiku. Rýchlosť prúdu už vieme zo zadania. Obsah si vieme vypočítať, pretože vieme, že kohútik má tvar štvorca so stranou dlhou \(a = \SI{0.05}{\metre}\).

\[S_k = a \cdot a = \SI{0.05}{\metre} \cdot \SI{0.05}{\metre}\] \[S_k = \SI{0.0025}{\metre^2}\]

Teraz potrebujeme vypočítať druhú stranu rovnice, ktorá sa týka rúrok s teplou a studenou vodou. Keďže voda, ktorá tečie z týchto rúrok sa sčíta a nakoniec vytečie von kohútikom, tak na druhej strane rovnice musia byť hodnoty pre obidve rúrky. Vyzeralo by to asi nejak takto:

\[S_k \cdot v_k = S_s \cdot v_s + S_t \cdot v_t\]

My však vieme, že rúrka so studenou aj teplou vodou sú rovnaké, čiže aj ich prierez bude rovnaký, takže rovnicu si vieme upraviť takto:

\[S_k \cdot v_k = S_r (v_s + v_t)\]

Teraz si môžeme vypočítať obsah prierezu rúrky. Vieme, že polomer rúrky je \(r = \SI{0.1}{\metre}\), takže obsah bude:

\[S_r = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (\SI{0.1}{\metre})^2\] \[S_r \doteq \SI{0.0314}{\metre^2}\]

Vypočítať jednotlívé rýchlosti sa môže zdať ťažké, pretože sú to dve neznáme. My však vieme, že Jaro pustil studenú a teplú vodu v pomere 3:1, čiže studená voda potečie trikrát rýchlejšie než teplá. Tým pádom vieme, že \(v_s = 3 \cdot v_t\), takže môžeme jednoducho vypočítať rýchlosť napríklad teplej vody.

\[S_k \cdot v_k = S_r (3 \cdot v_t + v_t)\] \[S_k \cdot v_k = 4 \cdot S_r \cdot v_t\] \[\frac{S_k \cdot v_k}{4 \cdot S_r} = v_t\]

Teraz iba dosadíme čísla a máme rýchlosť teplej vody.

\[v_t = \frac{\SI{0.0025}{\metre^2} \cdot \SI{0.02}{\metre\per\second}}{4 \cdot \SI{0.0314}{\metre^2}}\] \[v_t \doteq \SI{0.000398}{\metre\per\second}\]

A rýchlosť studenej vody je: \[v_s = 3 \cdot v_t\] \[v_s = 3 \cdot \SI{0.000398}{\metre\per\second}\] \[v_s \doteq \SI{0.001194}{\metre\per\second}\]

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.