1. Voľný pád vzorové riešenie

Teoretický úvod – Prvá časť

Vieme, že na Zemi nám na telesá pôsobí gravitačná sila s veľkosťou \(F_G=mg\), kde \(m\) je hmotnosť telesa a \(g\doteq\SI{9.81}{\metre\per\second\squared}\) je gravitačné zrýchlenie na Zemi. Na základe druhého Newtonovho zákona preto vieme, že teleso, na ktoré pôsobí gravitačná sila, sa pohybuje rovnomerne zrýchleným pohybom so zrýchlením \(g\) (čiže každú sekundu sa rýchlosť zvýši o približne \(\SI{9.81}{\metre\per\second}\)). Preto vieme rýchlosť takéhoto pohybu v čase \(t\) určiť ako \(v(t)=v_0+gt\), kde \(v_0\) je počiatočná rýchlosť. Ešte si však musíme uvedomiť, že skúmame voľný pád, a teda Krtkova loptička začína padať s nulovou počiatočnou rýchlosťou. Vzťah preto vieme zjednodušiť na \(v(t)=gt\). Keďže rýchlosť rastie rovnomerne, priemerná rýchlosť rovnomerného pohybu, ktorý trvá čas \(T\), je rovný polovici maximálnej dosiahnutej rýchlosti, a teda \(v_p=\frac12 v(T)=\frac12 gT\). S touto vedomosťou už vieme určiť celkovú dráhu, ktorá je rovná priemernej rýchlosti prenásobenej dobou trvania pohybu, a teda \(s=v_pT=\frac12 gT^2\). Keďže však uvažujeme voľný pád smerom nadol, dráha, ktorú loptička prejde, je rovná výške \(H\), z ktorej padá, a teda \(H=\frac12 gT^2\), z čoho vieme ekvivalentnými úpravami dostať

\[ T=\sqrt{\frac{2H}{g}}\text. \]

Vidíme, že doba dopadu by mala rásť odmocninovo vzhľadom na výšku, z ktorej kameň padá. Poďme to teda overiť.

Meranie – Prvá časť

Keďže skúmame voľný pád, je dôležité počiatočnú rýchlosť nastaviť na hodnotu \(0\). Počiatočná ypsilonová súradnica nám zjavne vyjadruje výšku, z ktorej loptička padá, tú preto budeme postupne meniť. Hodnota gravitačného zrýchlenia je vopred prednastavená pre Zem, preto ju meniť netreba. Ostatné parametre nám voľný pád neovplyvňujú, preto ich meniť nemusíme. Namerané hodnoty si následne zaznamenávame do tabuľky a zakreslíme ich do grafu.

Môžeme si všimnúť, že hodnoty naozaj ležia na veľmi peknej odmocninovej krivke a naše teoretické očakávania spĺňajú.

Teoretický úvod – Druhá časť

Pri tejto časti si musíme pripomenúť gravitačný zákon, ktorý hovorí, že gravitačnú silu vo všeobecnosti určíme ako \(F_G=G\frac{Mm}{r^2}\), kde \(G\) je gravitačná konštanta, \(M\) je hmotnosť planéty, \(m\) je hmotnosť telesa a \(r\) je vzdialenosť telesa od stredu planéty. Keďže je však vzdialenosť telesa od povrchu planéty zanedbateľne malá oproti polomeru planéty, stačí uvažovať, že \(r\) je polomer planéty. Pre Zem teda platí \(F_G=G\frac{M_Zm}{r_Z^2}\) a zároveň \(F_G=mg\), z čoho vieme vyjadriť, že \(g=G\frac{M_Z}{r_Z^2}\). Následne sa vieme pozrieť na to, aké gravitačné zrýchlenie \(g_p\) pôsobí na neznámej planéte:

\[ g_p=G\frac{M_p}{r_p^2}=G\frac{\num{1.8}M_Z}{(\num{1.2}r_Z)^2}=\frac{\num{1.8}}{\num{1.44}}\cdot\frac{M_Z}{r_z^2}\cdot G=\num{1.25}g\text. \]

Vidíme, že zrýchlenie na neznámej planéte by malo byť \(\num{1.25}\)-krát väčšie ako na Zemi. Poďme sa ešte pozrieť, ako by to malo ovplyvniť časy dopadov pri rovnakej výške.

\[ \frac{T_Z}{T_p}=\frac{\sqrt{\frac{2H}{g}}}{\sqrt{\frac{2H}{g_p}}}=\sqrt{\frac{g_p}{g}}=\sqrt{\num{1.25}}\doteq\num{1.12}\text, \]

čiže na neznámej planéte by mala loptička dopadať \(\num{1.12}\)-krát kratšie ako na Zemi. Teóriu už máme, poďme teda simulovať.

Meranie – Druhá časť

Jediný rozdiel oproti prvému meraniu je, že musíme zmeniť gravitačné zrýchlenie. Keďže vieme, že na neznámej planéte je \(\num{1.25}\)-krát väčšie ako na Zemi, nastavíme jeho hodnotu na \(\SI{12.26}{\metre\per\second\squared}\). Následne sa môžeme pustiť do simulácii. Namerané hodnoty si opäť zaznamenáme do tabuľky a grafu.

Na grafe opäť vidíme, že závislosť rastie odmocninovo, a následne vieme overiť, že pomer dôb dopadov je naozaj okolo \(\num{1.12}\).

Záverečné slovo

Ešte by sme mali zodpovedať otázku, prečo Krtko experimentoval na póle. Ide o to, že ako sa planéta točí okolo svojej osi, vzniká pri tomto otáčavom pohybe odstredivá sila, ktorá by mohla výsledky skresliť. Čím sme však bližšie k osi otáčania, odstredivá sila je nižšia. Keď sa Krtko nachádza na póle, je priamo na osi otáčania, a teda na loptičku nepôsobí žiadna odstredivá sila.