3. Vrh vzorové riešenie

Teoretické minimum

Na začiatok si odvodíme vzorce pre vrhy a vypočítame z nich odhad, okolo ktorých hodnôt máme skúšať simuláciu.

Keď máme vrh s rýchlosťou \(\vec{v}\) pod uhlom \(\alpha\), môžeme ho rozdeliť na dve zložky, vertikálnu a horizontálnu. Ako to spraviť? Tak, aby platila Pytagorova veta. Alebo aj tak, aby ich súčet po zložkách dával dokopy späť \(\vec{v}\): \[\left\lvert\vec{v_x}\right\rvert=\cos(\alpha) \left\lvert\vec{v}\right\rvert,\] \[\left\lvert\vec{v_y}\right\rvert=\sin(\alpha) \left\lvert\vec{v}\right\rvert,\] \[\left\lvert\vec{v}\right\rvert^2 = \left\lvert\vec{v_x}\right\rvert^2 + \left\lvert\vec{v_y}\right\rvert^2 = \left\lvert\vec{v}\right\rvert^2 (\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)).\]

Teraz poďme na na samotný vrh. Keďže sme rozložili vrh na dva pohyby, jeden vodorovný, rovnomerný priamočiary a druhý vertikálny, rovnomerne zrýchlený, tak to, ako ďaleko doletí loptička, závisí od toho, ako dlho bude vo vzduchu a ako rýchlo letí. Teda ak by sme povedali, že nech je len najdlhšie vo vzduchu, mali by sme riešenie \(\alpha=\ang{90}\), kedy ale zjavne doletí do vodorovnej vzdialenosti \(0\). Takže očakávame nejaký kompromis medzi dĺžkou letu a rýchlosťou vodorovného pohybu.

Ako dlho je loptička vo vzduchu? To sa dá spočítať zo vzorca \[h=\frac{1}{2}gt^2,\] \[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.\]

Dobre, ale toto nám teraz prevedie problém hľadania času na hľadanie výšky. Na to však použijeme iné nástroje, a to sú energie. Na začiatku máme kinetickú energiu \(E_k=\frac{1}{2}m\left\lvert\vec{v_y}\right\rvert^2\) a potenciálnu energiu v najvyššom bode \(E_p=hmg\). A keďže máme bezstratový systém (t.j. bez odporu), tak kinetická energia na začiatku vrhu musí byť rovná potenciálnej v najvyššom bode. Samozrejme berieme iba kinetickú energiu zodpovedajúcu vertikálnej zložke rýchlosti. \[hmg=E_p=E_k=\frac{1}{2}m\left\lvert\vec{v_y}\right\rvert^2,\] odkiaľ \[h=\frac{1}{2g}\left\lvert\vec{v_y}\right\rvert^2\] Dosadíme do vzorca pre čas a máme \[t=\sqrt{\frac{\sin(\alpha)^2\left\lvert\vec{v}\right\rvert^2}{g^2} }=\frac{\sin(\alpha)\left\lvert\vec{v}\right\rvert}{g}.\]

Teraz máme čas, počas ktorého loptička pôjde hore, a potom treba pridať ešte čas, ktorý pôjde dole, aby sme mali jej celkový čas vo vzduchu. Už to len vynásobiť rýchlosťou vodorovného pohybu a máme vzdialenosť.

\[s=2\frac{\sin(\alpha)\left\lvert\vec{v}\right\rvert}{g} \cos(\alpha)\left\lvert\vec{v}\right\rvert= \frac{2}{g}\sin(\alpha)\cos(\alpha)\left\lvert\vec{v}\right\rvert^2.\] Toto teraz chceme maximalizovať v závislosti od \(\alpha\). Čiže chceme maximalizovať súčiniteľ \(\sin(\alpha)\cos(\alpha)\). Na to použijeme nerovnosť medzi kvadratickým a geometrickým priemerom, ktorá hovorí, že pre čísla \(a,b\) platí \[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq \sqrt{a\cdot b}\] dosadiac \(\sin{\alpha}\) a \(\cos{\alpha}\) máme \[\sqrt{\frac{\sin{\alpha}^2+\cos{\alpha}^2}{2}}=\frac{1}{2}\geq\sqrt{\sin{\alpha}\cdot\cos{\alpha}}\] pričom rovnosť nastáva keď \(a=b\), teda keď \(\alpha=45^\circ\).

Experiment 1

Takže vieme, že máme hľadať optimum okolo \(\alpha=\ang{45}\). Samozrejme odpor vzduchu neuvažujeme, to je až na úlohu \(4\). Nastavíme \(x=0\), \(y=0\), \(v=20\), \(g=\num{9.80665}\) a budeme meniť uhol \(\alpha\) od \(4\ang{0}\) po \(\ang{50}\). Experiment opakujeme jedenkrát, nakoľko opakovanie experimentu by neviedlo k spresneniu údajov na troch desatinných miestach, ktoré sú potrebné na nájdenie vhodného uhla.

Z nameraných hodnôt vidíme, že skutočne pod uhlom \(\ang{45}\) dohodíme najďalej.

Teoretická časť 2

Ako sme v predošlej časti ukázali, chceme robiť nejaký kompromis medzi časom a rýchlosťou. No tentokrát čas, ktorý pôjde loptička hore, nebude rovný času, ktorý pôjde dole.

Nech hádžeme z výšky \(h_0>0\). Potom vzorce môžeme upraviť takto:

\[ t=t_1+t_2=\frac{\sin(\alpha)\left\lvert\vec{v}\right\rvert}{g} +\sqrt{\frac{\frac{1}{g}\left\lvert\vec{v_y}\right\rvert^2+2h_0}{g}} \]

A teda vzdialenosť \(s\) je

\[ s=\left(\frac{\sin(\alpha)\left\lvert\vec{v}\right\rvert}{g} + \sqrt{\frac{\frac{1}{g}\sin(\alpha)^2\left\lvert\vec{v}\right\rvert^2+2h_0}{g}}\right)\cdot \cos(\alpha)\left\lvert\vec{v}\right\rvert. \]

Tu sa už nedá ľahko nahliadnuť a povedať, kedy to bude optimálne. Samozrejme, sú metódy, ako to spraviť. Tie však neuvedieme, nakoľko si myslíme, že ďaleko presahujú rámec tohto textu.

Experiment 2

Ak budeme hľadať optimálny uhol s presnosťou na jedno desatinné miesto, budeme sklamaní. Pre predstavu dosaďme \(x=\num{0.5}\), \(v=\num{20}\) a hľadajme uhol. Zostrojíme nasledujúcu tabuľku:

Z nej usúdime, že nevieme povedať, ktorá hodnota je tá správna. Prečo to takto dopadlo? Napríklad preto, že program, s ktorým pracujeme, vyhodnotí dotyk s rovinou vtedy, keď rýchlosť bude záporná. To však znamená, že niekedy to môže preskočiť kúsok viac do záporu ako inokedy.¹ Preto nevieme merať presne. Preto budeme uvažovať presnosť na stupne a budeme mať výšky od \(x=\num{0.5}\) po \(\num{10}\).

Dochádzame k dôsledku, že s rastúcou výškou treba znižovať uhol. To intuitívne dáva zmysel, nakoľko čas, ktorý je loptička vo vzduchu, sa predlžuje vďaka dodatočnej výške, a teda uhol môžeme zmenšiť v prospech vyššej rýchlosti.

Pre tých, ktorých by zaujímalo \[ 0 = \num{20} \cos\alpha \left(\frac{\num{13.025} \sin\alpha \cos\alpha}{\sqrt{\num{40.7886} \sin^2\alpha + 2 h_0}} + \num{2.03943} \cos\alpha\right) - \num{20} \sin\alpha \left(\num{0.31933} \sqrt{\num{40.7886} \sin^2\alpha + 2 h_0} + \num{2.03943} \sin\alpha\right) \] je implicitne daná funkcia, ktorá by popisovala náš problém. Ako isto vidno, vyjadriť \(\alpha\) v závislosti od \(h_0\) nie je sranda, a preto to robiť nebudeme.