5. Gravitácia vzorové riešenie

Zadanie

Jurko bol pred niekoľkými mesiacmi v Singapure. Tam si dlhé chvíle na letisku krátil hraním sa so svojím obľúbeným jojom. To nechal, voľne visiac na polmetrovom lanku, hojdať sa v tamojšom tiažovom poli Zeme. Prekvapivo však zistil, že joju, keď sa pomaly hojdá, trvá jeden prekmit inak dlho, ako keď to isté jojo nechal kmitať pri rovnakých podmienkach na Slovensku. I napadlo ho, že to bude tým, že Zem sa otáča, on sa nachádza bližšie k rovníku, a teda je tu iné tiažové zrýchlenie ako na Slovensku.

V múdrych knižkách Jurko našiel, že keď sedíme na kolotoči vo vzdialenosti \(r\) od stredu kolotoča, okolo ktorého sa kolotoč otáča a naša obvodová rýchlosť v danom mieste je \(v\), cítime silu veľkosti \(\frac{mv^2}{r}\) (resp. zrýchlenie \(\frac{v^2}{r}\)), ktorá nás vytláča smerom von z kolotoča.

Pomôžte Jurkovi zistiť, ako veľmi iné je tiažové zrýchlenie v Singapure od toho na Slovensku. Pri svojich výpočtoch môžete využiť zemepisnú šírku daných miest a hodnotu tiažového zrýchlenia na Slovensku. Ďalej môžete predpokladať, že tiažové zrýchlenie sa skladá z dvoch častí, jednej spôsobenej rovnakými efektami ako na kolotoči a druhej, zodpovednej iba za gravitačné pôsobenie medzi Zemou a Jurkom, jojom, atď.

Sila, o ktorej Jurko toľko premýšľa, sa nazýva tiež dostredivá sila. Táto sila ohýba trajektóriu telesa smerom k centru otáčania. Predstavte si teleso chodiace po kruhovej trajektórií – vždy sa pohybuje kolmo na spojnicu s centrom otáčania. Nejaká sila teda musí jeho smer vždy trochu ohnúť, aby pokračovalo po kružnici.

Hneď na začiatku by sme mohli konštatovať, že Zem nie je dokonalá guľa, ale je akoby stlačená na póloch. Preto by aj Singapur, ktorý je južnejšie, mal byť viac vzdialený od stredu Zeme a gravitácia by mala pôsobiť slabšie. Tento rozdiel je však veľmi malý a je aj tak čiastočne kompenzovaný nerovnosťami povrchu, ako sú pohoria atď. Pre naše potreby teda budeme považovať Zem za dokonalú guľu a gravitačné zrýchlenie¹ za rovnaké na oboch miestach. Rozdiel tiažového zrýchlenia bude spôsobený práve odstredivou silou. Hor’ sa teda spočítať, aká veľká vlastne je!

Vieme, že dostredivé zrýchlenie môžeme vypočítať ako \(a = \frac{v^2}{r}\). V tomto prípade je \(r\) vzdialenosť od osi otáčania. Ostáva zistiť, ako rýchlo sa otáčajú Slovensko či Singapur okolo zemskej osi. Rýchlosť je pomer dráhy a času, za ktorý ju prejde. Vieme, že za 24 hodín urobia jeden obeh po kružnici. Keďže ale majú rozdielnu zemepisnú šírku, táto kružnica je pre Slovensko menšia, ako pre Singapur. Obvod tejto kružnice bude \(l = 2 \pi r\). Predstavme si pravouhlý trojuholník, kde preponu tvorí spojnica stredu Zeme a Jožka dĺžky \(R\), jednu odvesnu naše \(r\) a druhú odvesnu tvorí časť rotačnej osi Zeme.

Teraz si uvedomíme, že zemepisná šírka sa udáva v stupňoch a vyjadruje uhol daného miesta od rovníka. Všimneme si, že existuje závislosť medzi \(r\) a \(R\), a to taká, že \(r = R \cos{\alpha}\), kde \(\alpha\) je udávaná zemepisná šírka. Teda náš vzorec pre dostredivé zrýchlenie bude \[ a = R \cos{\alpha} \left({\frac{2 \pi}{t}}\right)^2\text{.} \]

Pre zistenie odstredivého zrýchlenia potrebujeme už iba dosadiť do rovníc zemepisné šírky Slovenska a Singapuru, čo sú \(\text{\ang{48;8;}}\) a \(\text{\ang{0;;}}\), v danom poradí pre hlavné mestá. Pozor, jeden stupeň má \(60\) minút, nie \(100\), preto v stupňoch sú tieto hodnoty \(\text{\ang{48.13}}\) a \(\text{\ang{0}}\).

Vieme, že gravitačné zrýchlenie \(g\) smeruje do jadra a má veľkosť \(g = G \frac{M}{R^2} = \SI{9.832}{\metre\per\second\squared}\), kde \(M\) je hmotnosť Zeme a \(G\) je gravitačná konštanta. Avšak \(a\) smeruje od stredu otáčania Zeme a to je trochu iný uhol, než~\(g\). Teda potrebujeme sčítať dve veličiny, ktoré nemajú rovnaký smer. To docielime ako sčítanie jednotlivých zložiek samostatne a nakoniec zistíme preponu výsledného trojuholníka pomocou Pytagorovej vety. Takže \[ b = \sqrt{\left(g \sin{\alpha}\right)^2 + \left(g \cos{\alpha} - a \right)^2}\text{.} \]

Dosadením hodnôt \(g\) a \(a\) získame \[ b = \sqrt{\left(9.832 \sin{\alpha}\right)^2 + \left(9.832 \cos{\alpha} - R \cos{\alpha} \left(\frac{2 \pi}{t}\right)^2\right)^2}\si{\metre\per\second\squared}\text{,} \]

odkiaľ po jednoduchom dosadení dostaneme riešenia \[ b_{\mathrm{Singapur}} = \SI{9.797}{\metre\per\second\squared}\text{.} \]

Analogicky vypočítame pre Slovensko: \(a_{\mathrm{Slovensko}} = \SI{9.816}{\metre\per\second\squared}\). Nuž a teraz už vidíme, že tiažové zrýchlenie v Singapure je o \(\Delta a = \SI{0.019}{\metre\per\second\squared}\) menšie.