4. Most Atlas vzorové riešenie

Zadanie

Maťo nedávno na svojich potulkách internetmi narazil na takúto fotografiu:

Len sa pozeral s otvorenými ústami a nechápal. Ako je možné, že taký malý most udrží takú veľkú loď? A keď ten most bez problémov udrží taký náklad, ako by asi musel vyzerať náklad, ktorý by už most neudržal? Skúste vysvetliť jav na obrázku a odhadnúť, akú najťažšiu loď by most mohol uniesť.

Most na obrázku sa volá viadukt, a konkrétne je to Gouwe-aquaduct v Holandsku. Most má rozmery okolo \(\SI{45}{\meter}\) na dĺžku, šírku okolo \(\SI{45}{\meter}\) a výšku okolo \(\SI{6}{\meter}\). Podstatné je si uvedomiť, že hmotnosť vytlačenej vody je rovnaká ako hmotnosť lode, ktorá vytláča vodu. Toto tvrdenie si vieme overiť doma s poloplnou fľašou vody, a to tak, že fľašu ponoríme do vody. Hladina vo fľaši sa ustáli v okolí hladiny vonku a teda fľaša vytlačila objem vody rovný jej hmotnosti.

Keby bola loď v prieplavovej komore, hladina sa zvýši. No my máme prípad, keď voda ktorá by zvýšila hladinu, môže odtiecť napríklad do susedného kanála, jazera, mora. Takto sa objem vytlačenej vody rozleje na signifikantne väčšiu plochu a teda sa výška hladiny skoro nezmení. Hydrostatický tlak na dne mosta je teda \(h \rho g\), kde \(h\) je výška vody, \(\rho\) je hustota vody a \(g\) je gravitačné zrýchlenie. Tento tlak sa prechodom lode ponad most nezmení: hustota a gravitácia zostanú rovnaké a o výške sme povedali, že jej zmena je zanedbateľná. Ba čo viac, tá zmena nastala už pri spustení lode na vodu, takže prechodom ponad most loď žiadnu ďalšiu vodu nevytlačí. Teda tlak na most sa nezmení. Z čoho vyplýva, že cez most môže prejsť hocijaká loď, ktorá sa naň zmestí.

Kedy sa to môže pokaziť? Napríklad ak je hmotnosť lode je dostatočná, aby mala hĺbku ponoru väčšiu, ako je hĺbka vody na moste. To je tých \(\SI{6}{\meter}\). Potom by váha loda mohla byť väčšia ako hmotnosť vytlačenej vody, pretože by sa opierala o dno. Tým by sa mohla presiahnuť nosnosť mosta a most by spadol.