2. Linka č. 74 vzorové riešenie

Chceme zistiť, ako ďaleko bude peňaženka od človeka, keď ich spoločné ťažisko je mimo tela človeka. Čiže, kedy ťažisko bude čo najbližšie k človeku, pritom, že bude mimo neho. Vezmime si, že tento človek má peňaženku v zadnom vačku a zlodej mu ju ukradne. V takom prípade budeme rátať s tým, že chceme, aby bolo spoločné ťažisko peňaženky a človeka tesne vedľa jeho chrbta. Napríklad, priemerná Zuzka má vzdialenosť tesne vedľa chrbta od ťažiska svojho tela asi \(\SI{11}{\centi\metre}\).

Vieme, že ťažisko sa počíta rovnako ako páka, teda závisí od hmotnosti a vzdialenosti od ťažiska. Keď máme dva hmotné body, Zuzku a peňaženku, vieme polohu ťažiska vypočítať z \[ m_Z r_Z = m_p r_p\text{.} \]

Z rovnice si \(m_Z\) a \(m_p\) vieme určiť, \(r_Z\) je vzdialenosť od pôvodného ťažiska po nové, a \(r_p\) je teda jediná vec, ktorú nevieme. Teda si ju vyjadríme z rovnice, a dostaneme \[ r_p = \frac{m_Z r_Z}{m_p}\text{.} \]

Vypočítajme si to teda pre priemernú Zuzku. Hmotnosť priemernej Zuzky je \(m_Z = \SI{55}{\kilo\gram}\) a hmotnosť Zuzkinej peňaženky je \(m_p = \SI{0.24}{\kilo\gram}\). Vzdialenosť pôvodného Zuzkinho ťažiska a terajšieho Zuzkinho ťažiska je \(r_Z = \SI{0.11}{\metre}\).

Poďme teraz vypočítať vzdialenosť pôvodného ťažiska peňaženky a terajšieho: \[ \begin{aligned} r_p &= \frac{m_Zr_Z}{m_p}\text{,} \\ &= \frac{\SI{55}{\kilo\gram} \cdot \SI{0.11}{\metre}}{\SI{0.24}{\kilo\gram}}\text{,} \\ &\doteq \SI{25.2}{\metre}\text{.} \end{aligned} \]

Vidíme teda, že keď priemernej Zuzke zlodej ukradne peňaženku a odnesie ju o viac ako približne \(\SI{25}{\metre}\), príde aj o svoje ťažisko.