5. Elektrovláčik vzorové riešenie

Zadanie

Syseľ má doma taký elektrický vláčik, že by ste neverili. Zaberá mu pol miestnosti. Okrem krásnej makety ľúbezného horského údolia s mestečkom, cez ktoré vedú koľaje, si dal Syseľ záležať aj na technickej stránke vláčika. Dlho dumal nad tým, ako zapojiť štyri rovnaké trakčné motorčeky do lokomotívy tak, aby z danej inštalácie vyžmýkal čo najväčší výkon. Motorčeky môžu byť zapojené sériovo, paralelne, alebo sérioparalelne, ako vidíte na obrázku. Zistite, ako veľmi sa líšia výkony rôznych zapojení, ak na ne stále privádzame rovnaké napätie \(U_z\) (jednosmerným zdrojom).

Trakčný motor je elektrický spotrebič ako každý iný a pre výkon na ňom platí vzťah \(P=UI\), kde \(U\) napätie pod ktorým je a \(I\) je prúd ním prechádzajúci.

Na úvod si povedzme, že všetky štyri trakčné motory majú rovnaký odpor \(R_m\). Na celé zapojenie privedieme zo zdroja rovnaké napätie \(U_z\)¹. V celých úvahách a výpočtoch si motorčeky vieme nahradiť rezistormi. Rezistor prijímanú elektrickú energiu premieňa na teplo, motorček na otáčavý pohyb². Oba majú pre prachádzajúci prúd tú vlastnosť, že majú nejakú elektrický odpor. Inak je jedno, či je tam zapojený rezistor, žiarovka, alebo chladnička.

Sériové zapojenie

Pri sériovom zapojení rezistorov (za sebou) platí \(R_c=R_1+R_2 +\cdots+ R_n\), teda \(4\) rovnaké rezistory s odporom \(R_m\) v sérii budú mať odpor \(4R_m\). Potečie nimi teda prúd \(I_1=\frac{U_z}{4R_m}\). Každý motorček sa teda bude točiť s výkonom \(P_1=UI_1\).

Napätie na každom z týchto rezistorov nie je \(U_z\), pretože platí \(U=RI\), kde keď \(R=R_m\) a \(I=\frac{U_z}{4R_m}\), tak \(U_1=\frac{U_z}{4}\).³ Výkon motorčeka teda bude \[ P_1=U_1I_1=\frac{U_z}{4}\cdot\frac{U_z}{4R_m}=\frac{U_z^2}{16R_m}\text{.} \]

Štyri motorčeky budú mať spolu výkon štvornásobný a teda \[ P_{1c}=4\cdot\frac{U_z^2}{16R_m}=\frac{1}{4}\cdot\frac{U_z^2}{R_m}\text{.} \]

Sérioparalelné zapojenie

Pri druhom zapojení musíme uvažovať, čo sa deje pri paralelnom zapojení rezistorov. Platí známy vzťah⁴ \[\frac{1}{R_c}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots+\frac{1}{R_n}\text{.}\]

Tu máme paralelne dvojicu rezistorov, každú s odporom \(2R_m\). Celkový odpor zapojenia teda bude \(R_m\). Zapojením bude teda spolu pretekať prúd \(\frac{U_z}{R_m}\). Toto však nie je prúd pretekajúci ktorýmkoľvek z motorčekov. Tento by sme namerali ampérmetrom úplne pred motorčekmi. Tento prúd sa ešte rozdelí do hornej a spodnej vetvy. Keďže obe majú rovnaký odpor, prúd na oboch bude rovnaký, teda \[ I_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{U_z}{R_m}=\frac{U_z}{2R_m}\text{.} \]

Napätie na každom z nich bude zas \(\frac{U_z}{2}\). Prúd \(I_2\) preteká každým z motorčekov, preto výkon každého z nich bude \[ P_2=\frac{U_z}{2}\cdot\frac{U_z}{2R_m}=\frac{U_z^2}{4R_m}\text{,} \]

štyri v súčte budú mať teda výkon \[ P_{2c}=4\cdot\frac{U_z^2}{4R_m}=\frac{U_z^2}{R_m}\text{.} \]

Keď túto hodnotu porovnáme s \(P_{1c}\), zistíme, že \[ P_{2c}=\frac{U_z^2}{R_m}=4\cdot\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{U_z^2}{R_m}\right)=4\cdot P_{1c}\text{,} \]

teda takýmto prepojením motorčekov sme dosiahli štvornásobný výkon.

Paralelné zapojenie

A čo tretie zapojenie? Napätie sa nám deliť nebude, nič nie je s ničím v sérii, teda \(U_3=U_z\). Odpor celého zapojenia bude štvrtinou odporu každého z motorčekov, teda \(R_3=\frac{R_m}{4}\). Celkový prúd bude teda \[ I_{3c}=\frac{U_3}{R_3}=U_z:\frac{R_m}{4}=\frac{4U_z}{R_m}\text{.} \]

Prúd sa nám bude deliť na štvrtiny, pretože ide do štyroch rovnakých vetiev. \[ I_3=\frac{I_{3c}}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4U_z}{R_m}=\frac{U_z}{R_m}\text{.} \]

Výkon bude teda \[ P_3=U_3I_3=U_z\cdot\frac{U_z}{R_m}=\frac{U_z^2}{R_m}\text{.} \]

Aby sme vypočítali celkový výkon štyroch takýchto motorčekov, stačí nám to vynásobiť štyrmi a zistíme, že \[ P_{3c}=4\cdot\frac{U_z^2}{R_m}=4\cdot P_{2c}\text{,} \]

teda výkon sa nám zas zvýšil, a opäť štvornásobne. Znamená to teda, že zmenou zapojenia sa naozaj zmení i výkon, a to vieme vyjadriť pomerom \(P_{1c}:P_{2c}:P_{3c}=1:4:16\).

Má to však i reálne využitie? Áno, má. Skutočná lokomotíva má 4 trakčné motory, obrovské elektromotory, každý s výkonom asi 15-krát väčším ako auto. Keď sa rozbieha, tieto sú v sérii. No a postupom času, keď chceme od lokomotívy vyšší výkon, preradia sa na pararelné zapojenie, čím sa výkon naozaj zvýši. Ako sme práve vypočítali, šestnásťnásobne.