3. Lepenie kobercov vzorové riešenie

Zamyslime sa najskôr, ako by sme z prvých \(10\) otočení pásky zistili dĺžku celej pásky. Najprv si všimnime, že dĺžka jedného otočenia sa rovná dĺžke jej obvodu, a teda \(\pi R\), kde \(R\) je priemer pásky. Priemer pásky sa však pri jej odmotávaní zmenšuje, a to práve o jej hrúbku \(h\) za jedno odmotanie, teda jej obvod sa zmenší o \(2\pi h\) za jedno odmotanie. Z toho už ľahko môžeme usúdiť, že dĺžky jednotlivých za sebou idúcich odtočení tvoria klesajúcu aritmetickú postupnosť s počiatočným členom \(a\) rovným počiatočnému obvodu pásky a rozdielom dvoch po sebe idúcich členov \(d = -2\pi h\).

Dĺžka celej pásky je teda rovná súčtu aritmetického radu dĺžok jednotlivých odtočení

\[ S= a\cdot n + d \cdot \frac{n(n-1)}{2}\text, \]

kde \(n\) je počet navinutí pásky na kotúčiku.

Veľa z vás sa tento príklad pokúsilo vypočítať týmto spôsobom, ale málokomu sa podarilo si tento vzorec odvodiť. Hlavnou myšlienkou tohto vzorca je, že ak sčítavame \(n\) zasebou idúcich čísel, ktoré sa konštantne zväčšujú, resp. zmenšujú, tak súčet prvého a posledného je rovnaký ako druhého a predposledného, tretieho a predpredposledného a tak ďalej až po súčet dvoch v strede (ak sme mali párny počet čísel) alebo dvojnásobok prostredného (ak ich bol nepárny počet). Tieto súčty sa rovnajú dvojnásobku priemeru tohoto číselného radu, a teda na výpočet ich súčtu nám stačí zistiť, koľko ich je a aký je ich priemer (t. j. prostredná hodnota). Ich priemer, ako sme videli, je rovný súčtu prvého a posledného vydelenému 2. Potom súčet všetkých týchto čísel je ich počet vynásobený ich priemerom. V našom prípade prvý je dlhý \(a\) a posledný \(a-(n-1)d\) a dokopy ich je \(n\). Potom ich súčet je \(\frac{a + a - (n-1)d}{2} \cdot n = a \cdot n + d \cdot \frac{n(n-1)}{2}\)

Zoberieme si teda pásku podľa nášho výberu, z jej boku si zaznačíme jej začiatok. Potom ju začneme odvíjať a priliepať na nejaký dlhý rovný povrch (dvere, stôl, zárubne, podlaha) - páska sa nám bude ľahšie merať, ak sa nebude hýbať a bude rovno prilepená. Zároveň si pri každom odvinutí pásky pomocou už spomínanej rysky na ňu zaznačíme body, ktoré sa prekrývali s jej začiatkom, čiže budeme mať na nej vyznačené dĺžky prvých \(10\) odvinutí.

Keď máme pásku \(10\)-krát odvinutú, zmeriame si dĺžku odvinutej časti \(l_1\) a dĺžku prvých \(5\) odvinutí \(l_2\). Tu vieme, že \(l_1= 10a + 45d\) a \(l_2 = 5a + 10d\). V našom prípade sa \(l_1 = \SI{1650}{\milli\metre}\) a \(l_2 = \SI{828}{\milli\metre}\). Z toho vypočítame \(a = \SI{166.08}{\milli\metre}\) a \(d = \SI{-0.24}{\milli\metre}\). Pomocou nich vieme vypočítať priemer pôvodnej pásky \(R_1\) a aktuálny priemer pásky \(R_2\), \(R_1= \frac{a}{\pi}=\SI{52.86}{\milli\metre}\) a \(R_2= \frac{a+10d}{\pi}=\SI{52.1}{\milli\metre}\). (Vidíme, že takto získaný priemer je o dosť presnejší, než keby sme ho priamo merali. Vtedy by sme získali \(R_1=\SI{53}{\milli\metre}\) a \(R_2=\SI{52}{\milli\metre}\).) Potom hrúbka \(h\) odvinutej pásky je \(\frac{R_1-R_2}{20}= \frac{-10d}{20\pi} = \frac{-d}{2\pi}=\SI{0.038}{\milli\metre}\).

Aby sme zistili, koľkokrát je páska navinutá na kotúčiku, zmeriame si aj jeho polomer \(r=\SI{34}{\milli\metre}\), čím získame, že páska je na kotúčiku navinutá približne \(n=\frac{R_1-r}{2h}=\num{248.16}\)-krát. Potom

\[ S= a\cdot n + d \cdot \frac{n(n-1)}{2}= \SI{33 853}{\milli\metre}\text. \]

Pre porovnanie: V papiernictve nám tvrdili, že páska je dlhá \(\SI{33}{\metre}=\SI{33 000}{\milli\metre}\) a ručným odmeraním pásky sme zistili, že je dlhá \(\SI{31 804}{\milli\metre}\). Chyba vznikla pravdepodobne pri meraní priemeru kotúčika a dĺžok \(l_1\) a \(l_2\).

Iné riešenie by bolo, ak by sme si uvedomili, že so zmenšovaním priemeru pásky sa nám zmenšuje aj obsah bočnej steny pásky, a to presne o odmotanú dĺžku pásky vynásobenú jej hrúbkou \(h\). Ak si teda zrátame obsah medzikružia, ktoré tvorilo prvých desať obtočení pásky, a vydelíme ho dĺžkou odmotanej pásky, získame hrúbku pásky. Ak potom touto hrúbkou vydelíme obsah medzikružia, ktoré páska na začiatku zapĺňala, získame celkovú dĺžku pásky.