1. Samkov cyklus vzorové riešenie

Najskôr si poďme premeniť Samkove rýchlosti na základné jednotky. \[ \begin{aligned} \frac{\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{27}{\kilo\metre\per\hour}}{\num[output-decimal-marker={,}]{3.6}} &= \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{7.5}{\metre\per\second}\text,\\ \frac{\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{15}{\kilo\metre\per\hour}}{\num[output-decimal-marker={,}]{3.6}} &= \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{4.1666}{\metre\per\second}\text. \end{aligned} \]

Teraz si veľmi jednoducho vypočítame, akú vzdialenosť prešiel pri týchto dvoch rôznych rýchlostiach. Použijeme pri tom vzorec \(s = v \cdot t\).

Na začiatku išiel \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{20}{\second}\) rýchlosťou \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{7.5}{\metre\per\second}\). \[ s_1 = \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{7.5}{\metre\per\second} \cdot \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{20}{\second} = \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{150}{\metre}\text. \]

Keď Samko prestal vládať, tak išiel \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{60}{\second}\) rýchlosťou \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{4.1666}{\metre\per\second}\). \[ s_2 = \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{4.1666}{\metre\per\second} \cdot \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{60}{\second} = \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{250}{\metre}\text. \]

Vieme, že Samko takto opakoval svoj akceleračný cyklus, až kým nedošiel ku cieľu, ktorý je vzdialený \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{5}{\kilo\metre} = \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{5000}{\metre}\). Keď si zrátame vzdialenosti \(s_1 + s_2\), tak nám udávajú vzdialenosť, ktorú prešiel za jeden celý cyklus. Cykly sa stále opakujú, takže nám stačí zistiť koľkokrát sa cyklus zopakoval a vieme zistiť ako dlho mu trvala cesta ku cieľu. \[ \begin{aligned} \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{150}{\metre} + \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{250}{\metre} &= \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{400}{\metre}\text,\\ \frac{\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{5000}{\metre}} {\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{400}{\metre}} &= \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{12.5}{cyklu}\text. \end{aligned} \]

Intuitívne by sme si mohli povedať, že nám teraz stačí dať celkový čas za celý cyklus \(\num[output-decimal-marker={,}]{12.5}\) krát, čo by bolo \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{1000}{\second}\). Lenže takto to presne nefunguje. Rozdeľme si tieto cykly na \(\num[output-decimal-marker={,}]{12}\) cyklov a \(\num[output-decimal-marker={,}]{0.5}\) cyklu. Keď máme \(\num[output-decimal-marker={,}]{12}\) cyklov, tak nám stačí vynásobiť celkový čas cyklu dvanástimi. \[ \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{80}{\second} \cdot \num[output-decimal-marker={,}]{12} = \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{960}{\second}\text. \]

S polovičným cyklom je to trošku ťažšie. Najskôr si potrebujeme zistiť, koľko metrov nám ostalo do cieľa. To zistíme ako \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{5000}{\metre} - \num[output-decimal-marker={,}]{12} \cdot (s_1 + s_2)\). \[ \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{5000}{\metre} - \num[output-decimal-marker={,}]{12} \cdot \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{400}{\metre} = \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{200}{\metre}\text. \]

Samko teraz začína \(13.\) cyklus, takže najskôr ide \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{20}{\second}\) rýchlosťou \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{7.5}{\metre\per\second}\). Už vieme, že takto prejde \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{150}{\metre}\). To znamená, že mu ostane posledných \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{50}{\metre}\), ktorých prejde rýchlosťou \(\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{4.1666}{\metre\per\second}\). Z toho vieme ľahko zistiť, ako dlho mu to trvalo. \[ \frac{\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{50}{\metre}} {\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{4.1666}{\metre\per\second}} = \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{12}{\second}\text. \]

Už nám stačí iba zrátať všetky časy a máme výsledok :). \[ \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{960}{\second} + \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{20}{\second} + \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{12}{\second} = \SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{992}{\second}\text. \]