Zadanie

V médiách sa veľa hovorí o cestách do vesmíru. Tak sa Lukáš rozhodol, že si dá pauzu od každodennej rutiny a na mesiac odíde na mesiac. Vyhliadol si destináciu Europa1 a kúpil letenku. Nakoľko sa však mierne bojí lietania, tak sa musel na túto cestu odvážiť. Napriek stresujúcej ceste si užil bombastickú mesačnú dovolenku. Teraz sa už však treba vrátiť späť na Zem. Samozrejme, zas sa odvážil a spokojne prišiel domov.

Počas dlhého letu si však uvedomil, že na Europe sa cítil o dosť ľahší a že mu tam pozemská váha ukázala menšiu hodnotu ako na Zemi. Keď sa zamýšľal nad príčinou, natrafil na články o gravitačnom zákone v študijných materiáloch českej Fyzikálnej olympiády2. Koľkokrát menšiu hodnotu ukázala Lukášovi pozemská váha na Europe ako na Zemi? Rotáciu Zeme a Europy neuvažujte.

  1. pozor, nemáme na mysli nákupné centrum v Banskej Bystrici, ale mesiac Jupitera↩

  2. http://fyzikalniolympiada.cz/texty/druzice.pdf↩

Najskôr by sme sa mali zamyslieť nad otázkou, prečo nám pozemská váha ukázala na Europe menšiu hodnotu ako na Zemi. Naša hmotnosť sa totižto nemôže len tak zmeniť (teda, jedine že by sme sa poriadne najedli alebo držali diétu), a preto zmena hmotnosti nebude dôvodom rozdielnych hodnôt na váhe na Zemi a na Europe. Bude v tom teda nejaký iný fígeľ. Aby sa nám ho však podarilo nájsť, musíme chápať, ako taká váha funguje.

Princíp určovania hmotnosti na váhe

Ak sa teleso s hmotnosťou \(m\) nachádza v tiažovom poli Zeme, tak vieme, že naň pôsobí tiažová sila

\[ F_G = mg\text. \]

Ak sa teda postavíme na váhu, pôsobíme na ňu tiažovou silou, a teda dochádza k deformácii. Princíp váhy v jednoduchosti spočíva v tom, že určí veľkosť deformácie a na základe toho vie určiť, aká veľká tiažová sila na ňu pôsobí1. No a z veľkosti tiažovej sily už vieme určiť hmotnosť predelením gravitačným zrýchlením2.

Kde je teda problém?

Už sme zistili, ako funguje váha, preto by sa zišlo sa zamyslieť, prečo nám na Európe ukázala menšiu hodnotu. Uvedomme si, že váha je stavaná na pozemské prostredie, kde je gravitačné zrýchlenie \(g\approx\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{9.81}{\metre\per\second\squared}\). Na Europe ale možno bude gravitačné zrýchlenie iné ako na Zemi. Potom by aj gravitačná sila, ktorou pôsobíme na váhu bola rôzna, a preto by nám váha mohla ukazovať rôzne výsledky. Teraz prichádza na rad článok o gravitačnom zákone, ktorý sme vám odporučili. V ňom ste sa mohli dočítať, že dve telesá vo vzdialenosti \(r\), ktoré majú hmotnosti \(M\) a \(m\), na seba vzájomne pôsobia gravitačnou silou, ktorej veľkosť je

\[F_{\mathrm{g}}=\kappa\frac{Mm}{r^2}\text,\]

kde \(\kappa\approx\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{6.674e-11}{\metre\cubed\per\kilo\gram\per\second\squared}\) je gravitačná konštanta3. Tento vzorec platí všeobecne, teda by mal platiť aj pre našu Zem. Na domácu úlohu si to môžete overiť. Keďže ale poznáme vzorec na výpočet tejto sily, stačí už len zistiť hmotnosť Europy a jej polomer, a vieme vypočítať gravitačnú silu, aká tam na Lukáša pôsobí.

Výpočet

Označme si hmotnosť Lukáša \(m_{\mathrm{Lukáš}}\), hmotnosť Europy \(m_{\mathrm{Europa}}\) a polomer Europy \(r\). Na Zemi váha ukáže hodnotu \(m_{\mathrm{Lukáš}}\) a na Europe mu ukáže hodnotu \(\frac{\kappa}g\frac{m_{\mathrm{Lukáš}}m_{\mathrm{Europa}}}{r^2}\) (pretože určí gravitačnú silu, ktorou na ňu Lukáš na Europe pôsobí, a potom ju ešte predelí gravitačným zrýchlením). Chceme určiť, koľkokrát je hodnota na Europe menšia (resp. hodnota na Zemi väčšia), a teda potrebujeme určiť pomer hodnoty na Zemi a na Europe:

\[\frac{m_{\mathrm{Lukáš}}}{\frac{\kappa}g\frac{m_{\mathrm{Lukáš}}m_{\mathrm{Europa}}}{r^2}}=\frac{m_{\mathrm{Lukáš}}gr^2}{\kappa m_{\mathrm{Lukáš}}m_{\mathrm{Europa}}}=\frac{gr^2}{\kappa m_{\mathrm{Europa}}}\text.\]

Môžeme si všimnúť, že tento pomer nie je závislý od Lukášovej hmotnosti, a teda dosadením \(g=\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{9.81}{\metre\per\second\squared}\), \(\kappa=\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{6.674e-11}{\metre\cubed\per\kilo\gram\per\second\squared}\), \(r=\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{1.56e6}{\metre}\) a \(m_{\mathrm{Europa}}=\SI[per-mode=fraction, output-decimal-marker={,}]{4.8e22}{\kilo\gram}\)4 dostaneme, že váha Lukášovi ukázala na Europe približne \(\num{7.45}\)-krát menšiu hodnotu ako na Zemi bez ohľadu na jeho hmotnosť.

  1. Ak vás zaujíma, ako a prečo vie váha určiť z veľkosti deformácie veľkosť pôsobiacej sily, prečítajte si o tzv. Hookovom zákone↩

  2. Kým ešte neexistovali elektrické váhy a hmotnosť ukazovala ručička na otočnej stupnici, riešilo sa toto „predelenie“ určením vhodnej mierky↩

  3. tá bola zistená empiricky (experimentálne)↩

  4. údaje boli čerpané z anglickej Wikipédie↩

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.