1. V tieni A4 vzorové riešenie

Z bežného života ste možno viac zvyknutí na prípad, kedy sa pri vzďaľovaní predmetu od zdroja svetla tieň na tienidle v konštantnej vzdialenosti zmenšuje. To znamená, že čím je predmet bližšie k tienidlu, tým má menší tieň a naopak, čím je bližšie k zdroju, tým má tieň väčší. Takto to funguje pre zdroje svetla menšie ako predmet, ktorého tieň sledujeme. Napríklad aj pri tieňovom divadle¹ sa používa takmer bodový zdroj svetla - napríklad: baterka, reflektor alebo projektor. Pre zdroje svetla väčšie ako pozorovaný predmet (väčšinou ide o plošné zdroje) to funguje naopak, pretože lúče z okraja zdroja prechádzajú okolo predmetu pod takým uhlom, že sa dostanú až zaň, a teda čím je predmet bližšie ku zdroju, tým sa dostanú lúče za ním bližšie k sebe, a tým bude jeho tieň na tienidle menší.

Ak uvažujeme ako zdroj svetla Slnko a predpokladáme, že sa jeho lúče vo vesmíre ani v atmosfére nerozptyľujú, musíme s ním počítať ako s veľkým plošným zdrojom, pretože je rádovo oveľa väčší ako náš tieniaci predmet - list A4. Lúče, ktoré prichádzajú k listu z „okraja“ plošného zdroja v skutočnosti ležia na dotyčniciach na povrch Slnka, takže plochou tohto zdroja nie je celý stredový prierez Slnka, ale prierez s o niečo menšou plochou. Vzhľadom na veľkú vzdialenosť Slnka od Zeme ale nie je až takou chybou uvažovať celý stredový prierez.

Zaujíma nás najmenšia vzdialenosť listu od Zeme – taká, že list už na Zem nevrhá plný tieň, teda sa celý jeho plný tieň nachádza tesne nad jej povrchom. Túto konfiguráciu nám stačí zakresliť si do obrázku.

Vzdialenosť \(h\) listu od Zeme si vieme vypočítať z podobnosti dvoch pravouhlých trojuholníkov so spoločným uhlom \(\alpha\). Vo väčšom z nich je preponou (priemerná) vzdialenosť \(l_{\mathrm{sz}}\) stredu Slnka od povrchu Zeme, ktorej hodnotu si môžeme vyhľadať: \(l_{\mathrm{sz}}\approx\SI{149 600 000}{\kilo\meter}\) a kratšou odvesnou polomer Slnka \(r_{\mathrm{s}}\approx\SI{695 510}{\kilo\meter}\). Dĺžku jeho dlhšej odvesny vypočítame podľa Pytagorovej vety ako \(\sqrt{l_{\mathrm{sz}}^2-r_{\mathrm{s}}^2}\). V menšom z podobných trojuholníkov musia byť odvesny v rovnakom pomere, takže ak vieme, že jeho kratšou odvesnou je polovica listu A4 dĺžky \(\frac{a}{2}\), kde \(a\) je rozmer papiera – uvažujeme ten najmenší z nich, teda kratšiu stranu \(a=\SI{0,21}{\meter}\) – dlhšiu, ktorou je jeho výška \(h\) nad povrchom Zeme, vieme vypočítať.

\[ \begin{aligned} \frac{h}{a/2} & =\frac{\sqrt{l_{\mathrm{sz}}^2-r_{\mathrm{s}}^2}}{r_{\mathrm{s}}} \\ h & =\frac{a\sqrt{l_{\mathrm{sz}}^2-r_{\mathrm{s}}^2}}{2\,r_{\mathrm{s}}}\approx\boxed{\SI{22,58}{\meter}} \ \end{aligned} \]

Teda na to, aby list A4 nevrhal na Zem plný tieň, stačí, aby bol aspoň vo výške \(\SI{22,6}{\meter}\) nad povrchom Zeme, čo je v skutočnosti naozaj málo – stačí papier vyhodiť z okna nejakej vyššej poschodovej budovy.