4. Odporový vrh vzorové riešenie

Teoretické minimum

Aké sily pôsobia na loptičku počas šikmého vrhu? Okrem pôvodného počiatočného pôsobenia od vrhateľa pôsobí iba gravitačná sila a odporová sila. Pričom odporová sila má smer vždy proti smeru pohybu loptičky a veľkosť danú známym vzorcom

\[-F_{o}=\frac{1}{2} C S \varrho \vec{v}^{2}\] kde \(C\) je koeficient aerodynamického odporu, \(S\) je čelný prierez telesa vzhľadom na smer pohybu, \(\varrho\) je hustota prostredia a \(\vec{v}\) je vektor rýchlosti. Je možné si všimnúť, že počítať sa nám s touto rýchlosťou musí ťažko, lebo sa mení počas letu. Preto je vhodné rovno začať s experimentami, t.j. simuláciami.

Experiment 1

Keďže nám loptička bude spomaľovať počas letu, dáva zmysel mať elevačný uhol menší ako \(\ang{45}\). Taktiež budeme ukazovať tabuľky ako spôsob hľadania optimálneho uhla pri jednotlivých nastaveniach. Samozrejme uvedomujeme si, že všetky možné nastavenia sa nedajú vyskúšať, a preto uvažujeme iba niektoré hodnoty, aby sme demonštrovali efekty, ktoré sledujeme.

Pri hodnotách \(v=\num{20}\), \(C=\num{0.47}\), \(r=\num{0.2}\), \(\varrho=\num{1.2}\) nám vyšla nasledujúca tabuľka:

Z nej môžeme usúdiť, že efekt spomalenia je signifikantný, ale nie natoľko, aby ovplyvnil uhol. Treba si všimnúť, že uhly menšie ako \(\ang{45}\) majú väčšie vzdialenosti ako uhly väčšie ako \(\ang{45}\). To teda potvrdzuje našu hypotézu, že nižšie uhly budú trochu optimálnejšie. Preto je pre Krtka lepšie, ak podhodnotí svoj uhol ako by ho nadhodnotil. Môžeme sa zamyslieť, že keby sme mali vyššiu rýchlosť projektilu, tiež by sme dostali väčší posun. Toto je spôsobené hlavne faktorom \(v^2\) v rovnici odporu.

Experiment 2

Ako sme už spomenuli, odporová sila záleží od hustoty vzduchu, čelného prierezu a aerodynamických vlastností. Všetky tieto čísla sú v priamej úmere. No keď si spomenieme na sily, tak vieme, že v nich hrá rolu aj hmotnosť. Ako to, že v tejto rovnici hmotnosť nevystupuje? No ak chceme len hmotnosť, aby nám sedel rozmer, tak ten dostaneme z hustoty prostredia. Ale samotný pohyb a zrýchlenie telesa sa správa podľa vzorca \(F=m\cdot a\), a preto keď chceme popisovať rovnice pohybu, tak hmotnosť sa prejaví v nepriamej úmere. T.j. väčšia hmotnosť ďalej doletí. Čo sa týka vplyvu gravitácie na pohyb telesa, ten hmotnosťou nie je ovplyvnený. A ani ostatnými veličinami, iba gravitačným zrýchlením.

Pri hodnotách \(v=\num{20}\), \(C=\num{0.47}\), \(r=\num{0.2}\), \(\varrho=\num{10}\) nám vyšla nasledujúca tabuľka

Zjavne sa optimálny uhol posunul niekde medzi \(\num{42}\) a \(\num{43}\) stupňov.

Pri hodnotách \(v=\num{20}\), \(C=\num{0.47}\), \(r=\num{1}\), \(\varrho=\num{1.2}\) nám vyšla nasledujúca tabuľka

Zjavne sa optimálny uhol posunul niekde do okolia \(\num{38}\) stupňov.

Pri hodnotách \(v=\num{20}\), \(C=\num{0.47}\), \(r=\num{0.2}\), \(\varrho=\num{1.2}\) nám vyšla nasledujúca tabuľka

Zjavne sa optimálny uhol posunul niekde do okolia \(\num{44}\) stupňov.

Rozdielne optimálne uhly sú preto, lebo inými koeficientami ovplyvňujeme súčin \(C S \varrho\). V prvom pokuse sme zväčšili odpor vzduchu \(\num{8.3}\)-násobne, v treťom \(\num{4}\)-násobne. V druhom (pozor!) sme síce zväčšili polomer \(\num{5}\)-násobne, ale plocha sa zväčšila až \(\num{25}\)-násobne, preto máme najväčší efekt.

Uvažujme teraz hmotnosť.

Pri hodnotách \(v=\num{20}\), \(C=\num{0.2}\), \(r=\num{0.2}\), \(\varrho=\num{1.2}\), \(m=\num{80}\) nám vyšla nasledujúca tabuľka

Maximum sa zjavne nepohlo od \(\num{45}\) stupňov moc ďaleko. Ba dokonca menej ako pri \(m=\num{20}\), a teda naša teória je potvrdená.

Už len sa pozrieť na gravitáciu. Pri hodnotách \(v=\num{20}\), \(C=\num{0.2}\), \(r=\num{0.2}\), \(\varrho=\num{1.2}\), \(m=\num{20}\), \(g=\num{20}\) nám vyšla nasledujúca tabuľka

Tentokrát je gravitácia silnejším faktorom dopadu loptičky ako odpor vzduchu, preto je efekt spomalenia na základe odporu vzduchu skoro zanedbateľný. Ešte uvedieme vzdialenosť bez odporu vzduchu pre \(g=\num{20}\) a \(\alpha=\ang{45}\):