4. Opice z našej police vzorové riešenie

Čo sa vlastne v úlohe deje

Chovateľ hádže banán neznámou rýchlosťou a pod neznámym uhlom, ktorý máme vypočítať. Nepoznáme uhol, takže nemôžeme počítať hod banánu ako zvislý alebo vodorovný vrh, ale musíme ho počítať ako šikmý vrh pod uhlom, ktorý si označíme napríklad \(\alpha\). Opica pred pustením bola na vrchu stromu a po pustení začala padať smerom dolu bez okolitých vplyvov, čiže ide o voľný pád.

Matematický popis pohybov v úlohe

Na začiatok si musíme uvedomiť, čo znamená, že opica chytí banán. Pre nás to znamená len to, že opica aj banán sa nachádzajú na rovnakom mieste. V tejto úlohe si polohu objektov (banánu a opice) budeme vyjadrovať pomocou 2 súradníc, a to \(x\) a \(y\). Súradnica \(x\) bude pre vodorovný smer s počiatkom na mieste, kde stojí chovateľ a bude rásť smerom k stromu, na ktorom je opica. Súradnica \(y\) bude pre zvislý smer, za ktorého počiatok si určíme rovnako ako vo väčšine ostatných fyzikálnych úloh zem a bude rásť smerom hore. Opica aj banán sa pohybujú, čo znamená, že ich poloha sa mení v čase. Matematicky vieme povedať, že \(x\) a \(y\) sú funkcie času a zapisujeme ako \(x(t)\) a \(y(t)\).

Riešenie pomocou pohybujúcej sa vzťažnej sústavy

Na opicu aj banán pôsobí tiažová sila Zeme, preto sa vo zvislom smere budú pohybovať so zrýchlením \(-g\).¹. V takomto prípade vieme celej vzťažnej sústave udeliť zrýchlenie. Keďže toto zrýchlenie je \(-g\), opica bude stáť na mieste, a z pohybu banánu sa stane rovnomerný priamočiarý pohyb. Tento pohyb budeme opisovať pomocou rýchlosti, ktorú si označíme napríklad \(v\). Keď si túto rýchlosť rozložíme, dostaneme jej zložky \(v_x=v\cos\alpha\) a \(v_y=v\sin\alpha\). ² Polohu banánu, preto opisujú funkcie:

\[x_{\mathrm{banan}}(t)=v_xt=vt\cos\alpha\] \[y_{\mathrm{banan}}(t)=v_yt+h=vt\sin\alpha+h\].

Opica svoju polohu nemení, takže pre ňu budú platiť funkcie \(x_{\mathrm{opica}}(t)=d\) a \(y_{\mathrm{opica}}(t)=H\). Polohy banánu a opice si dáme do rovnosti a dostaneme:

\[ \begin{aligned} d&=vt\cos\alpha\text,\\ H&=vt\sin\alpha+h\text. \end{aligned} \]

V rovniciach nám vystupuje \(v\) a \(t\), ktoré však nepoznáme. Tento problém má veľmi jednoduché riešenie. Tým riešením je, že vydelíme jednu rovnicu druhou. V tomto prípade nezáleží, ktorú rovnicu vydelíme ktorou, preto vo vzoráku budeme pokračovať len jedným zo spôsobov. Po vydelení teda dostaneme:

\[ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{H-h}{d}\text. \]

Podiel sínusu a kosínusu je ďalšia goniometrická funkcia, ktorá sa volá tangens. Dostávame teda rovnicu

\[ \tan\alpha=\frac{H-h}{d}\text. \]

Z tohto už vieme získať hľadaný uhol a dostávame výsledok:

\[ \alpha=\arctan\left(\frac{H-h}{d}\right) \]

Iné riešenie

Najprv sa pozrime na pohyb opice, lebo je jednoduchší. Vo vodorovnom smere sa nám po pustení pohybovať nebude, lebo z rovnovážnej polohy ju uviedla do pohybu len tiažová sila, ktorá však pôsobí len vo zvislom smere. Preto bude platiť, že \(x_{\mathrm{opica}}(t)=d\). V zvislom smere ale opica pohyb koná. Tento pohyb sa volá voľný pád a platí preň rovnica \(s=\frac{1}{2} gt^2\). Opica padala z výšky \(H\), preto zvislú polohu opice opisuje funkcia \(y_{\mathrm{opica}}(t)=H-\frac{1}{2}gt^2\).

U banánu je pohyb trochu zložitejší. Chovateľ hodí banán nejakou rýchlosťou, označme si ju napríklad \(v\). Túto rýchlosť si musíme rozložiť na jej zložky v \(x\)-ovom a \(y\)-ovom smere, lebo rýchlosťou \(v\) sa banán nepohybuje pozdĺž jednej z osí. Zložky rýchlosti \(v\) si označíme ako \(v_x\) a \(v_y\). Pomocou goniometrických funkcií si vieme vyjadriť ich hodnoty ako \(v_x=v\cos\alpha\) a \(v_y=v\sin\alpha\). Vo vodorovnom smere nepôsobí na banán žiadna sila, čiže rýchlosť \(v_x\) sa nebude meniť. Z toho vychádza, že vo vodorovnom smere pôjde o rovnomerný pohyb, pre ktorý platí všeobecný vzorec \(s=vt\), a teda bude platiť \(x_{\mathrm{banan}}(t)=v_xt=vt\cos\alpha\). V zvislom smere na banán pôsobí tiažová sila, ktorá pôsobí proti smeru pohybu, preto pôjde o rovnomerne spomalený pohyb.

Rovnomerne spomalený pohyb si vieme predstaviť ako 2 pohyby. Jeden rovnomerný a druhý rovnomerne zrýchlený, ale v opačnom smere. Pre rovnomerný pohyb platí vzorec \(s=vt\) a pre rovnomerne zrýchlený (v tomto prípade voľný pád) \(s=\frac{1}{2}gt^2\). Keď si tieto 2 pohyby spojíme a pridáme počiatočnú výšku, dostaneme, že platí:

\[ y_{\mathrm{banan}}(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_xt+h=-\frac{1}{2}gt^2+vt\sin\alpha+h\text. \]

Už vieme presne opísať pohyb opice aj banánu. Vieme, že opica chytí banán, preto musí nastať čas \(t\), pre ktorý bude platiť: \(x_{\mathrm{opica}}(t)=x_{\mathrm{banan}}(t)\) a \(y_{\mathrm{opica}}(t)=y_{\mathrm{banan}}(t)\). Keď si tieto rovnice rozpíšeme, dostaneme:

\[ \begin{aligned} d&=vt\cos\alpha\text,\\ -\frac{1}{2}gt^2+H&=-\frac{1}{2}gt^2+vt\sin\alpha+h\text. \end{aligned} \]

Po úprave dostaneme:

\[ \begin{aligned} d&=vt\cos\alpha\text,\\ H&=vt\sin\alpha+h\text. \end{aligned} \]

Z čoho môžeme pokračovať rovnakým spôsobom, ako v 1. spôsobe riešenia.